等可能事件

什么是等可能事件

　　等可能事件是指每个基本事件出现的可能性都相等．若某一试验由n个基本事件组成（即等可能出现n个结果，则每个基本事件的概率是 $\frac{1}{n}$ ），如果某个事件A包含的结果有m个（既包含有m个基本事件），那么事件A的概率为 $P(A)=\frac{m}{n}$ ．

　　注意： $P(A)=\frac{m}{n}$ 是等可能事件概率的定义，同时也是计算这种概率的一种方法．利用这个式子计算概率时，关键是求出m、m，n为一次试验中等可能出现的结果数，m为某个事件A所包含的结果数．求n时，应注意这几种结果必须是等可能的．

　　【举例】：先后抛掷两枚质地均匀的硬币，求“一枚出现正面，另一枚出现反面”的概率．

　　分析：先后抛掷2枚质地均匀的硬币，可出现“正，正”、“正，反”、“反，正”、“反，反”这4种等可能的结果．而“一枚出现正面，另一枚出现反面”这一事件包括“正，反”、“反，正”两种结果．

　　解：设一枚出现正面，另一枚出现反面的事件为A，则

　　 $P(A)=\frac{m}{n}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

　　∴“一枚出现正面，另一枚出现反面”的概率为 $\frac{1}{2}$ ．

　　注意：解答本题，有时错误认为先后抛掷2枚质地均匀的硬币，只会出现“2个正面”、“2个反面”、“1正1反”这3种情况，从而得出的结论．实际上述3种情况不是等可能的．

　　“互斥事件”和“等可能事件”是意义不同的两个概念．在一次试验中，由于某种对称性条件，使得若干个随机事件中每一事件产生的可能性是完全相同的，则称这些事件为等可能事件，在数目上，它可为2个或多个，而互斥事件是指不可能同时发生的两个或多个事件．

　　两种事件不是水火不相溶．有些等可能事件可能也是互斥事件，有些互斥事件也可能是等可能事件．

　　下面通过举例来辨清“互斥事件”和“等可能事件”．

　　【举例1】判断以下各组中的事件是否是互斥事件？是否是等可能事件？

　　（1）粉笔盒里有8支红粉笔，6支绿粉笔，4支黄粉笔，现从中任取1支，“抽得红粉笔”，“抽得绿粉笔”、“抽得黄粉笔”．

　　（2）李明从分别标有1，2，…，10标号的同样的小球中，任取一球，“取得1号球”，“取得2号球”，…，“取得10号球”．

　　（3）一周七天中，“周一晴天”，“周二晴天”，…，“周六晴天”，“星期天晴天”

　　解：（1）“抽得红粉笔”，“抽得绿粉笔”，“抽得黄粉笔”，它们是彼互斥事件，不是等可能事件．

　　（2）“取得1号球”，“取得2号球”，…，“取得10号球”，它们既是彼此互斥事件，又是等可能事件．

　　（3）“周一晴天”，…，“星期天晴天”，它们是等可能事件，不是彼此互斥事件．

　　【举例2】抛掷一均匀的正方体玩具（各面分别标有数1，2，3，4，5，6），事件A表示“朝上一面的数是奇数”，事件B表示“朝上一面的数不超过3”，求P(A＋B)．

　　下面给出两种不同解法

　　解法1：

　　∵ $P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ ， $P(B)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

　　∴ $P(A+B)=P(A)+P(B)=\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$

　　解法2：A＋B这一事件包括4种结果：即出现1，2，3和5。所以 $P(A+B)=\frac{3}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{3}$

　　请你判明解法1和解法2的正误．

　　解法1是错误的，解法2是正确的．

　　错解的原因在于忽视了“事件和”概率公式应用的前提条件．由于“朝上一面的数是奇数”与“朝上一面的数不超过3”二者不是互斥事件．即出现1或3时，事件A、B同时发生，所以不能应用P(A+B)=P(A)+P(B)求解．

　　而解法2中，将A＋B分成出现“1，2，3”与“5”这两个事件，记出现“1，2，3”为事件C，出现“5”为事件D，则C与D两事件互斥

　　∴ $P(A+B)=P(C+D)=P(C)+P(D)=\frac{3}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{3}$

　　∴解法2正确．