互斥事件

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互斥事件(Exclusive Event)

什么是互斥事件

　　互斥事件是指在某一试验中不可能同时发生的事件。

互斥事件与对立事件的区别与联系

　　互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：（1）事件A发生且事件B不发生；（2）事件A不发生且事件B发生；（3）事件A与事件B同时不发生，而对立事件是指事件A 与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事件A发生B不发生；（2）事件B发生事件A不发生，对立事件是互斥事件的特殊情形．

互斥事件与相互独立事件的区别

　　“互斥事件”与“相互独立事件”是两个不同的概念，二者不能混淆。

　　两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两个事相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响。它们虽然都描绘了两个事件间的关系，但所描绘的关系是根本不同的。

　　若A、B互斥，且P(A)>0 ，P(B)>0，则它们不可能互相独立，因为A发生的条件下，B不可能发生，即 $P(B|A)=0 \ne P(B)$ ，所以A、B不是互相独立。

互斥事件的相关例题

　　互斥事件有一个发生的概率

　　【例1】

　　房间里有6个人，求至少有2个人的生日在同一月内的概率.

　　解　6个人生日都不在同一月内的概率 $P(\overline{A})=\frac{A_{12}^6}{12^6}$ .故所求概率为 $P(A)=1-P(\overline{A})=1-\frac{A_{12}^6}{12^6}$ .

　　【例2】^[1]

　　从一副52张的扑克牌中任取4张，求其中至少有两张牌的花色相同的概率。

　　解法1 任取四张牌，设至少有两张牌的花色相同为事件A；四张牌是同一花色为事件 $B 1$ ；有3张牌是同一花色，另一张牌是其他花色为事件 $B 2$ ；每两张牌是同一花色为事件 $B 3$ ；只有两张牌是同一花色，另两张牌分别是不同花色为事件 $B 4$ ，可见， $B 1, B 2, B 3, B 4$ 彼此互斥，且 $A = B 1 + B 2 + B 3 + B 4$ 。

　　 $P(B_1)=\frac{C_4^1 C_{13}^4}{C_{52}^4} \approx 0.0106$ , $P(B_2)=\frac{C_4^1 C_{13}^3 C_3^1 C_{13}^1}{C_{52}^4} \approx 0.1648$ ,

　　 $P(B_3)=\frac{C_4^2 C_{13}^2 C_2^2 C_{13}^2}{C_{52}^4} \approx 0.1348$ , $P(B_4)=\frac{C_4^1 C_{13}^2 C_3^2 (C_{13}^1)^2}{C_{52}^4} \approx 0.5843$ ,

　　 $P(A)=P(B_1)+P(B_2)+P(B_3)+P(B_4) \approx 0.8945$

　　解法2 设任取四长牌中至少有两张牌的花色相同为事件A，则 $\overline{A}$ 为取出的四张牌的花色各不相同，

　　 $P(\overline{A})= \frac{(C_{13}^1)^4}{C_{52}^4}=0.1055$

　　 $P(A)=1-P(\overline{A})=0.8945$

　　答：至少有两张牌花色相同的概率是0.8945

　　【例3】^[2]

　　在20件产品中有15件正品，5件次品，从中任取3件，求：（1）恰有1件次品的概率；（2）至少有1件次品的概率.

　　解

　　(1)从20件产品中任取3件的取法有 $C_{20}^3$ ，其中恰有1件次品的取法为 $C_{15}^2 C_5^1$ 。

　　恰有一件次品的概率 $P=\frac{C_{15}^2 C_5^1}{C_{20}^3}=\frac{35}{76}$ .

　　(2)解法一从20件产品中任取3件，其中恰有1件次品为事件 $A 1$ ,恰有2件次品为事件 $A 2$ ，3件全是次品为事件 $A 3$ ,则它们的概率

$P(A_1)=\frac{C_{15}^2 C_5^1}{C_{20}^3}=\frac{105}{228}$ , $P(A_2)=\frac{C_{5}^2 C_{15}^1}{C_{20}^3}=\frac{2}{228}$ , $P(A_3)=\frac{C_{5}^3}{C_{20}^3}=\frac{2}{228}$ ,

　　而事件A1、A2、A3彼此互斥，因此3件中至少有1件次品的概率

　　 $P(A_1+A_2+A_3)=P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)=\frac{137}{228}$

　　解法二 记从20件产品中任取3件，3件全是正品为事件A，那么任取3件，至少有1件次品为 $\overline{A}$ ，根据对立事件的概率加法公式 $P(\overline{A})=1-P(A)=1- \frac{C_{15}^3}{C_{20}^3}=\frac{137}{228}$

参考文献

↑ 张志朝主编.第十章排列组合和概率中学1+1·高三数学同步讲解与测试(上册).天津人民出版社,2003年06月第1版.
↑ 李勇编.10.6 互斥事件有一个发生的概率高中学科素质教育丛书数学.二年级.下.四川教育出版社,2005年.