短期生产函数
短期生产函数(short-run production function ）
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什么是短期生产函数[1]
短期生产函数是指在短期内至少有一种投入要素使用量不能改变的生产函数。在短期内，假设资本数量不变，只有劳动可随产量变化，则生产函数可表示为Q=f(L)，这种生产函数可称为短期生产函数。微观经济学通常以一种可变生产要素的生产函数考察短期生产理论，以两种可变生产要素的生产函数考察长期生产理论。
短期生产函数相关概念[2]
为了探讨短期生产规律，需要从总产量、平均产量和边际产量这三个概念及相互关系说起。
假定生产某种产品需要两种投入要素：资本K和劳动L，其中资本K为固定投入要素，劳动L是可变投入要素。产量随着劳动者人数的变化而变化。下面，我们引入总产量、平均产量和边际产量三个概念来说明产量和劳动之间的关系。
劳动的总产量(total product，TPL)指短期内在技术水平既定条件下，利用一定数量的可变要素(如劳动)所生产产品的全部产量。其表达式为：TPL=f(L)。
劳动的平均产量(average product，APL)是指平均每一单位可变要素所分摊的总产量。其表达式为：
劳动的边际产量(marginal product，MPL)是指增加一单位可变要素的投入所导致的总产苗量的增加量。其表达式为：
或
我们利用表1来说明这三个概念及其关系。表1描述了某服装公司的生产情况。对于生产服装的企业来说，其拥有的机器设备和厂房在短期内是固定的，但是所雇用的操作缝衣机器设备的劳动力是可以调整的，工厂的管理人员必须根据销售情况作出雇用多少工人的决策。表1给出了该服装公司劳动的投入与产出之间的关系。第二列表示资本固定不变，第三列表示与不同劳动投入所对应的总产出量。随着劳动投入量的增加，总产出在逐渐增加，当劳动投入达到6个单位时，总产出达到最大值，再增加一个单位劳动，劳动投入达到7个单位时，总产出没有发生变化。当投入的劳动继续增加时，总产出反而开始减少。
| 可变投入量 (L) | 固定投入量 (K) | 总变量 （TPL) | 平均产量 （APL） | 边际产量 （MPL） |
| 0 | 10 | 0 | ||
| 1 | 10 | 3 | 3 | 3 |
| 2 | 10 | 10 | 5 | 7 |
| 3 | 10 | 24 | 8 | 14 |
| 4 | 10 | 36 | 9 | 12 |
| 5 | 10 | 40 | 8 | 4 |
| 6 | 10 | 42 | 7 | 2 |
| 7 | 10 | 42 | 6 | 0 |
| 8 | 10 | 40 | 5 | -2 |
利用表1中的数据可以绘制成图1。在图1中，横轴表示劳动投入量，纵轴表示产出量。图1(a)中TPL表示总产量曲线，从图中我们可以看出，服装公司的总产量伴随劳动投入从零开始逐渐增加，总产量曲线TPL先以递增的速度增加，到达拐点b以后，增速开始减慢，到达点d时总产量到达最大值，过点d后总产量则变为递减。图1(b)中的APL和MPL分别表示平均产量曲线和边际产量曲线。从图中可以看出，服装公司的平均产量先随劳动投入的增加而增加，达到最高点c'后即不断下降。而边际产量从几何意义上看即为总产量曲线上其相对应的某点的斜率。根据总产量曲线的特点，在总产量到达拐点之前，其切线的斜率为正且递增，过拐点之后，切线的斜率虽为正但呈递减，达最高点之后，切线的斜率即为负。因此，与总产量相对应的边际产量MPL起先可能有短暂的上升，到达点b'后其即不断下降，过了点d'后MPL变为负数。
从表1和图1中，我们可以看出，随着可变投入使用量的不断增加，边际产量最终可能变为负值。比如，当企业每天雇用8个工人时，工作场所会变得十分拥挤，劳动者在做工作的时候会相互碍事。因此，如果增雇第8个工人，总产量实际上会减少，所以，边际产量变为负值。这就是所谓“人多反而误事”的现象。
图1 一种可变要素的投入与产量之间的关系
综上所述，我们可以对各种产量曲线相互间的关系归纳如下：
(1)当TP曲线上升时，MP为正；TP下降时，MP为负；因此，当TP为极大时，MP=0。
(2)当MP>AP时，AP曲线上升；MP<AP时，AP曲线下降,MP曲线通过AP曲线的最高点，此时MP=AP。
为了更清楚地说明AP与MP的关系，我们不妨找一实例来说明。设有某一班级学生的平均身高为160厘米(相当于AP)，若转入一位新同学，其身高为170厘米(相当于MP)，即原先全班的平均身高小于转入者(即AP小于MP)，这样就会由于转入者的身高的“拉动”，使得后来全班的平均身高增加(相当于AP呈递增)了；反之若班上转入一位新同学，其身高为150厘米(相当于MP)，比原班上的身高小时(MP<AP)，则该班上新的平均身高会下降(即AP此时呈递减)。这个例子比较形象地说明了平均产量和边际产量的关系。
在上述服装公司的例子中，随着雇用工人的增加，当增加更多的工人时，每增加1个工人所带来的总产量的增量会越来越小。比如，该服装公司的边际产量在第4个工人之后开始递减，嚣一直到第7个工人的边际产量为零。这一边际产量连续下降的过程被称为边际报酬递减规律。号该规律表述如下：边际报酬递减规律(1aw of diminishing return)是指在其他条件不变时，连续将生某一生产要素的投入量增加到一定的数量之后，总产量的增量即边际产量将会出现递减现象。
一般认为，边际报酬递减规律并不是根据经济学中的某种理论或原理推导出来的规律，它只是根据对实际的生产和技术情况观察所做出的经验性的概括，反映了生产过程中的一种纯技术关系。同时，该规律只有在下述条件具备时才会发生作用：(1)生产技术水平既定不变；(2)除一种投入要素可变外，其他投入要素均固定不变；(3)可变的生产要素投入量必须超过一定点。也就是说，投入要素不是完全替代品。比如，在农业生产中，第一单位的劳动与一些农业机械及一块耕地结合时，开始有可能明显增加总产量，但随着劳动投入增加，过了某一点之后，下一单位劳动投入所生产的农产品数量将小于前一单位劳动投入所生产的产量。因此，边际报酬递减规律在农业生产或一些劳动密集型工作中表现得比较突出。
在短期生产函数中，除一种要素以外，其他要素固定不变。在一种要素可变情况下，随着可变要素逐渐增加，总产量、平均产量及边际产量的变化如图2所示。
图2 生产的三个阶段
根据平均产量及边际产的变化特点，可以将生产或者要素的投入分为三个阶段。在图2中，生产的三个阶段具有如下特点：
第I阶段：(0，L2)，此时MPL>APL，APL递增。
第Ⅱ阶段：(L2，L3)，此时，APL>MPL>0，APL递减。
第Ⅲ阶段：(L3，∞)，此时，MPL<0时，TPL呈递减。
在第I阶段中，可变要素的投入量从0增加到L2个单位时，在这阶段各种产量曲线的变化特征为：劳动的平均产量始终是上升的，并且达到最大值；劳动的边际产量达到最大值后开始递减，但其始终大于劳动的平均产量；劳动的总产量始终是增加的。所以，此阶段称为平均产量递增阶段。这说明在本阶段，固定要素投入相对过多，增加可变要素的投入有利于两者搭配比例更加合理化。因此，第I阶段可称为生产力尚未充分发挥的阶段，在该阶段理性厂商对可变要素的投入不会停止。
在第Ⅱ阶段中，AP虽开始下降，但仍相当高；同时MP>0，这时继续投入生产要素，仍会有额外的产出。因此，第2阶段可称生产的经济阶段。亦可称为生产的合理区域。
在第Ⅲ阶段中，MP<0，TP开始下降，这表示生产要素投入过多，不但不能增加生产，反而使总产量减少，使生产者蒙受双重损失，一是资源的浪费，二是总产量的减少。因此，第Ⅲ阶段可称为生产不经济的阶段。
综合以上所述，可知第I阶段中要素的生产力尚未充分发挥，不是最有利的生产阶段。第Ⅲ阶段中要素的边际产量为负，总产量开始下降，此种情形不但无利，而且有害，因此也不是有利的生产阶段。第Ⅱ阶段则无上述两阶段的缺点，故为生产的经济阶段。至于厂商在实际生产中会选取第Ⅱ阶段中的哪一点来安排生产，要看生产要素的价格，如果相对于资本的价格而言，劳动的价格较高，则劳动的投入量靠近点L2对于生产者较有利；若相对于资本的价格而言，劳动的价格较低，则劳动的投入量靠近点L3对于生产者较有利。无论如何，都不能将生产维持在第I阶段或推进到第Ⅲ阶段。
短期生产函数案例[2]
已知某企业的生产函数为Q=21L+9L2-L3，求：
(1)该企业的平均产出函数和边际产出函数。
(2)如果企业现在使用了3个劳动力，试问是否合理?如果不合理，那合理的劳动使用量应在什么范围内?
(3)如果该企业的产品的市场价格为3元，劳动力的市场价格为63元。那么，该企业的最优劳动投入量是多少?
【解】
(1)平均产出函数为：APL=Q／L=21+9L-L2。
边际产出函数为：MPL=21+18L-3L2。
(2)我们首先确定合理投人区间的左端点。令AP=MP，即：
21+9L-L2=21+18L一3L2
整理，得
2L2-9L==0
可解得L=0(舍去)与L=4．5。所以，合理区间的左端点应在劳动力投人为4．5的时候。
再定合理区域的右端点。令MP=0，即：
21+18L-3L2=0
整理，得
L2-6L-7=0
解得：L=-1(舍去)与L=7。
所以，合理区域的右端点为L=7。
这样合理区域为4．5≤L≤7。
目前的使用量L=3，所以是不合理的。
(3)劳动投入最优的必要条件为P·MPL=w。所以，
(2l+18L-3L2)3=63
容易解出：L=0(舍去)或L=6。
因此，L=6，即使用6个劳动力为该企业的最优劳动投入量。