生日悖论

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生日悖论（Birthday paradox）

什么是生日悖论

　　生日悖论（Birthday paradox）是指，如果一个房间里有23个或23个以上的人，那么至少有两个人的生日相同的概率要大于50%。这就意味着在一个典型的标准小学班级(30人)中，存在两人生日相同的可能性更高。对于60或者更多的人，这种概率要大于99%。从引起逻辑矛盾的角度来说生日悖论并不是一种悖论，从这个数学事实与一般直觉相抵触的意义上，它才称得上是一个悖论。大多数人会认为，23人中有2人生日相同的概率应该远远小于50%。计算与此相关的概率被称为生日问题，在这个问题之后的数学理论已被用于设计著名的密码攻击方法：生日攻击。

生日悖论的理解

　　理解生日悖论的关键在于领会相同生日的搭配可以是相当多的。如在前面所提到的例子，23个人可以产生 $C(23,2)= 23\times \frac{22}{2}=253$ 种不同的搭配，而这每一种搭配都有成功相等的可能。从这样的角度看，在253种搭配中产生一对成功的配对也并不是那样的不可思议。

　　换一个角度，如果你进入了一个有着22个人的房间，房间里的人中会和你有相同生日的概率便不是50：50了，而是变得非常低。原因是这时候只能产生22种不同的搭配。生日问题实际上是在问任何23个人中会有两人生日相同的概率是多少。

概率估计

　　假设有n个人在同一房间内，如果要计算有两个人在同一日出生的机率，在不考虑特殊因素的前提下，例如闰年、双胞胎，假设一年365日出生概率是平均分布的（现实生活中，出生机率不是平均分布的）。

　　计算机率的方法是，首先找出p(n)表示n个人中，每个人的生日日期都不同的概率。假如n > 365，根据鸽巢原理其概率为0，假设n ≤ 365，则概率为:

　　 $\bar p(n) = 1 \cdot \left(1-\frac{1}{365}\right) \cdot \left(1-\frac{2}{365}\right) \cdots \left(1-\frac{n-1}{365}\right) =\frac{364}{365} \cdot \frac{363}{365} \cdot \frac{362}{365} \cdots \frac{365-n+1}{365}$

　　因为第二个人不能跟第一个人有相同的生日(概率是364/365),第三个人不能跟前两个人生日相同(概率为363/365),依此类推。用阶乘可以写成如下形式: ${ 365! \over 365^n (365-n)! }$

　　p(n)表示n个人中至少2人生日相同的概率:

　　 $p(n) = 1 - \bar p(n)=1 - { 365! \over 365^n (365-n)! }$

　　n≤365，根据鸽巢原理， n大于365时概率为1。

　　当n=23发生的概率大约是0.507。其他数字的概率用上面的算法可以近似的得出来：

n	p(n)
10	12%
20	41%
30	70%
50	97%
100	99.99996%
200	99.9999999999999999999999999998%
300	1 − (7 × 10⁻⁷³)
350	1 − (3 × 10⁻¹³¹)
≥366	100%

　　注意所有人都是随机选出的:作为对比,q(n)表示房间中 n个其他人中与特定人（比如你）有相同生日的概率：

　　 $q(n) = 1- \left( \frac{364}{365} \right)^n$

　　当n = 22时概率只有大约0.059,约高于十七分之一。如果n个人中有50％概率存在某人跟你有相同生日， n至少要达到253 。注意这个数字大大高于 $\frac{365}{2}=182.5$ .究其原因是因为房间内可能有些人生日相同。==数学论证(非数字方法)==

数学论证(非数字方法)

　　在 Paul Halmos 的自传中，他认为生日悖论仅通过数值上的计算来解释是一种悲哀。为此，Paul Halmos给出了一种概念数学方法的解释，下面就是这种方法（尽管这个方法包含一定的误差）。

　　乘积: $\prod_{k=1}^{n-1}\left(1k \over 365}\right)$

　　等于 1－p(n), 因此我们关注第一个n，使得乘积小于1/2，这样我们得到:

　　 $\sqrt[n-1]{\prod_{k=1}^{n-1}\left(1k \over 365}\right)}<{1 \over n-1}\sum_{k=1}^{n-1}\left(1k \over 365}\right)$

　　由平均数不等式得：

　　 $\prod_{k=1}^{n-1}\left(1k \over 365}\right) <\left({1 \over n-1}\sum_{k=1}^{n-1}\left(1k \over 365}\right)\right)^{n-1}$

　　 $=\left(1n \over 730}\right)^{n-1}<\left(e^{-n/730}\right)^{n-1}=e^{-(n^2-n)/730}.$

　　(我们首先利用已知的1到n－1所有整数和等于 n(n－1)/2, 然后利用不等式不等式 1－x < e^−x.)

　　如果仅当:

　　 $n^2-n>730\log_e 2\cong 505.997\dots$

　　最后一个表达式的值会小于0.5。

　　其中"log_e"表示自然对数。这个数略微小于506，运气稍微好一点点就可以达到506，等于n²－n，我们就得到n＝23。

　　在推导中，Halmos写道:

这个推导是基于一些数学系学生必须掌握的重要工具。生日问题曾经是一个绝妙的例子，用来演示纯思维是如何胜过机械计算：一两分钟就可以写出这些不等式，而乘法运算则需要更多时间，并更易出错，无论使用的工具是一只铅笔还是一台老式电脑。计算器不能提供的是理解力，或数学才能，或产生更高级、普适化理论的坚实基础。^[1]。

　　然而Halmos的推导只显示至少需要23人保证平等机会下的生日匹配；因为我们不知道给出的不等式有多清晰，因此n＝22能够正切的可能也无法确定。

泛化和逼近

生日悖论可以推广一下：假设有n 个,每一个人都随机地从1和特定的N个数中选择出来一个数(N可能是365或者其他的大于0的整数)。

p(n)表示有两个人选择了同样的数字，这个概率有多大?

下面的逼近公式可以回答这个问题

$p(n)\sim 1-1/\exp(n^2/(2N)).\,$

N＝365的结果

泛化

下面我们泛化生日问题: 给定从符合离散均匀分布的区间[1,d]随机取出n个整数, 至少2个数字相同的概率p(n;d) 有多大?

类似的结果可以根据上面的推导得出。

$p(n;d) = \begin{cases} 1-\prod_{k=1}^{n-1}\left(1k \over d}\right) & n\le d \\ 1 & n > d \end{cases}$

$p(n;d) \approx 1 - e^{-(n(n-1))/2d}$

$q(n;d) = 1 - \left( \frac{d-1}{d} \right)^n$

$n(p;d)\approx \sqrt{2d\ln\left({1 \over 1-p}\right)}$

反算问题

反算问题可能是:

对于确定的概率 p ...

... 找出最大的 n(p)满足所有的概率p(n)都小于给出的p,或者

... 找出最小的n(p) 满足所有的概率p(n)都大于给定的p。

对这个问题有如下逼近公式:

$n(p)\approx \sqrt{2\cdot 365\ln\left({1 \over 1-p}\right)}.$

举例

逼近			估计N :=365
p	n 推广	n <N :=365	n↓	p(n↓)	n↑	p(n↑)
0.01	0.14178 √N	2.70864	2	0.00274	3	0.00820
0.05	0.32029 √N	6.11916	6	0.04046	7	0.05624
0.1	0.45904 √N	8.77002	8	0.07434	9	0.09462
0.2	0.66805 √N	12.76302	12	0.16702	13	0.19441
0.3	0.84460 √N	16.13607	16	0.28360	17	0.31501
0.5	1.17741 √N	22.49439	22	0.47570	23	0.50730
0.7	1.55176 √N	29.64625	29	0.68097	30	0.70632
0.8	1.79412 √N	34.27666	34	0.79532	35	0.81438
0.9	2.14597 √N	40.99862	40	0.89123	41	0.90315
0.95	2.44775 √N	46.76414	46	0.94825	47	0.95477
0.99	3.03485 √N	57.98081	57	0.99012	58	0.99166

注意:某些值被着色，说明逼近不总是正确。

经验性测试

　　生日悖论可以用计算机代码经验性模拟

 days := 365; numPeople := 1; prob := 0.0; while prob < 0.5 begin     numPeople := numPeople + 1;     prob := 1 - ((1-prob) * (days-(numPeople-1)) / days);     print "Number of people: " + numPeople;     print "Prob. of same birthday: " + prob; end;

应用

　　生日悖论普遍的应用于检测哈希函数:N-位长度的哈希表可能发生碰撞测试次数不是2^N次而是只有2^N/2次。这一结论被应用到破解密码学散列函数的生日攻击中。

　　生日问题所隐含的理论已经在（Schnabel 1938）名字叫做capture-recapture的统计试验得到应用，来估计湖里鱼的数量。

近似匹配

　　此问题另外一个范化就是求得要在随机选取多少人中才能找到2个人生日相同，相差1天，2天等的概率大于50％。这是个更难的问题需要用到容斥原理。结果(假设生日依然按照平均分布)正像在标准生日问题中那样令人吃惊:

2人生日相差k天	#需要的人数
0	23
1	14
2	11
3	9
4	8
5	7
7	6

　　只需要随机抽取6个人，找到两个人生日相差一周以内的概率就会超过50%。

参考文献

↑ 原文：The reasoning is based on important tools that all students of mathematics should have ready access to. The birthday problem used to be a splendid illustration of the advantages of pure thought over mechanical manipulation; the inequalities can be obtained in a minute or two, whereas the multiplications would take much longer, and be much more subject to error, whether the instrument is a pencil or an old-fashioned desk computer. What calculators do not yield is understanding, or mathematical facility, or a solid basis for more advanced, generalized theories

　　2.Zoe Emily Schnabel: "The estimation of the total fish population of a lake"（某湖中鱼类总量估计）, 美国数学月刊 45 (1938年), 348-352页

　　3.M. Klamkin，D. Newman: "Extensions of the birthday surprise"（生日惊喜的扩充）, Journal of Combinatorial Theory 3 (1967年),279-282页。

　　4.D. Blom: "a birthday problem"生日问题, 美国数学月刊 80 (1973年),1141-1142页。{这一论文证明了当生日按照平均分布，两个生日相同的概率最小。)