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模糊线性规划

  	      	      	    	    	      	    
目录
  
 
 模糊线性规划模型及解法[1] 
 
　　一般地,普通线性规划的模型如下: 
　　\max Z=a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3+\ldots+a_nx_n。 
　　\begin{cases}a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+a_{i3}x_3+\ldots+a_{in}x_n(*)b_i(i=1,2,\ldots,m)\\x_j\ge0(j=1,2,\ldots,n)\end{cases}(1)。 
　　约束条件中的(*)表示(≥)、(≤)或(=)。 
　　显然,从上述模型可以看出,普通线性规划的目标函数系数清晰、约束条件中的关系确定,这对于解决一些目标明确、关系确定的问题是很有效的,但当面对系数模糊、非确定性关系的问题时,它显得就无能为力了。因此,为了解决实际生活中经常遇到的具有模糊性的问题时,人们提出了模糊线性规划。它自诞生起,就受到了广泛的关注,经过二十几年的发展,已经基本趋于成熟,并在实际问题中得到了大量的应用,效果甚佳。 
　　模糊线性规划一般可划分为清晰系数型、模糊系数型和非精确系数型等,实质上它们都是在普通线性规划的基础上,将其约束条件和目标函数进行模糊化得到的,一般来说,其可采用如下的模型进行表示： 
　　\max Z=a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3+\ldots+a_nx_n\ge Z_1。 
　　\begin{cases}a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+a_{i3}x_3+\ldots+a_{in}x_n\le b_i(i=1,2,\ldots,m)\\x_j\ge0(j=1,2,\ldots,n)\end{cases}(2) 
　　utf − 8 其中:X={x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n|x_j\in R,x_j 0,j=1,2,\ldots,n},Z_l为式(2)对应的普通线性规划的最优解,设对于第i个约束条件,有X中的一个模糊子集Di与之对应,“ ”表示“大约大于等于”,“ ”表示“大约小于等于”。令i个约束条件的伸缩值为di,当第i个约束条件完全满足时,其隶属度为1,当第i个约束条件超过bi + di时,其隶属函数度为0,其他情况下,其隶属函数的值介于0和1之间,设其隶属函数为线性函数,则其形式如下： 
　　D_i=f_i(\sum_{j=1}^n a_{ij}x_j-b_j)=\begin{cases}0&b_i+d_i\le\sum_{j=1}^n a_{ij}x_j\\1-\frac{1}{d_i}(\sum_{j=1}^n a_{ij}x_j-b_j) &b_i<\sum_{j=1}^n a_{ij}x_j\le b_i+d_i\\1&\sum_{j=1}^n a_{ij}x_j\le b_i\end{cases}(3) 
　　设目标函数对应于X中的一个模糊子集M∈F(x),且令目标函数的伸缩值为d0,其中d0是在约束条件\sum_{j=1}^n a_{ij}x_j\le b_i+d_i(i=1,2,…,m)下对应的普通线性规划的最优解与Zl之差,从式(2)可以看出,目标函数最优解应大于Zl,因此当目标函数值小于Zl时,目标函数的隶属度为0,当目标函数的值大于Zl+d0时,目标函数的隶属度为1,其他情况下,隶属函数的值介于0和1之间,同样令隶属函数在0和1之间呈线性变化,则目标函数的隶属函数形式如下: 
　　M(x)=(\sum_{j=1}^n c_jx_j)=\begin{cases}1&\le\sum_{j=1}^n c_j x_j>Z_l+d_0\\1-\frac{1}{d_o}(\sum_{j=1}^n c_jx_j-Z_l) &Z_l<\sum_{j=1}^n c_jx_j\le Z_l+d_0\\0&\sum_{j=1}^n c_jx_j\le Z_l\end{cases}(4) 
　　令D=D_1\cap D_2\cap\ldots\cap D_m为对应约束条件AX≤B的模糊约束集。设模糊优越解集为S,则S=D=D_1\cap D_2\cap\ldots\cap D_m\cap M=D\cap M,为了兼顾模糊约束集D和模糊目标集M,可采用模糊前判决,从而找到最佳点x * ,使 
Image:模糊线性规划公式1.jpg 
　　即由M诱导可能性测度∏,D对该测度的可能度∏(D)=D·M,从而最佳点x * 满足。 
　　D(x^*)\land M(x^*)=\Pi(D)=D\cdot M 
　　由于 
Image:模糊线性规划公式2.jpg 
　　所以模糊线性规划问题可归结为求普通线性规划的问题为 
　　maxλ 
　　\begin{cases}1-\frac{1}{d_i}(\sum_{j=1}^n a_{ij}x_j-b_i)\ge\lambda\\1-\frac{1}{d_i}(\sum_{j=1}^n c_j x_j-Z_l)\ge\lambda\\x_j\ge(j=1,2,\ldots,n)\end{cases}(5) 
　　对模型(5)求解,其最优解即为模型(2)的模糊最优解[2] 
　　在上述求解过程中,约束条件中的伸缩量d_i是根据所解决问题的实际情况,通过综合分析和比较后确定的,此外,本文还假定了介于0和1之间的约束条件与目标函数的隶属函数呈线性变化,这一近似假定简化了计算,但对结果的影响不会超过实际情况所允许的范围,因而假定是可取的。 
 
 模糊线性规划案例分析 
 
 案例一:模糊线性规划在企业生产管理中的应用[1] 
 
一、应用步骤 
　　同线性规划一样,建立模糊数学规划模型分四个步骤[3]: 
　　第一,确定决策变量,根据实际问题的情况,把决策系统中的可控因素作为决策变量,通常用带有不同下标的英文字母表示,例如用:x_1,x_2,\ldots,x_n表示年终计划中不同种产品的产量。线性规划的量应为正值,因为在实际问题中变量所代表的均为实物,不能为负。 
　　第二,确定目标函数。用形式表示出来的实际系统的期望目标称为目标函数。线性规划的目标函数基本上是求系统目标的极值,如:利润极大、效率极大等极大值或成本极小、费用极小等极小值。 
　　模糊线性规划的目标在一定的范围内具有相对的伸缩性。 
　　第三,确定约束条件。约束条件是指实现系统目标的限制因素,通常包括生产力约束,原材料、能源约束,库存水平约束等。对于模糊线性规划来说,约束条件一般是模糊的,具有一定的弹性。 
　　二、模糊线性规划在生产管理中的应用 
　　现以某饲料厂为例,设其只有一条生产线,能生产三种饲料A、B和C,饲料A每吨利润为3万元,饲料B每吨利润5万元,饲料C每吨利润4万元。产品A每吨耗费Ⅰ类原料2吨,产品B每吨需耗费Ⅰ类原料3吨和Ⅱ类原料2吨,饲料C每吨需耗费Ⅱ类原料5吨。该厂现有库存Ⅰ类原料8吨多,Ⅱ类原料10吨多,生产料饲料A吨需3 h的生产时间、生产饲料B每吨需2 h的生产时间、生产饲料C每吨需4 h的生产时间,每天的总生产时间为16h,工厂允许少量加班。问怎样安排鉴别类饲料的生产数量才能保证工厂能够获得最大的经济效益。 
　　(1)选取决策变量 
　　设x1=每天生产的A类饲料数 
　　x2=每天生产的B类饲料数 
　　x3=每天生产的C类饲料数 
　　(2)确定目标函数 
　　根据题意,工厂的最终目标是合理分配三种饲料的生产比例,从而获得较高的利润,所以可以建立目标函数为:。 
　　Z = 3x1 + 5x2 + 4x3 
　　(3)确定约束条件显然,可以把库存的原料总量和饲料的生产时间作为约束,那么有: 
　　\begin{cases}2x_1+3x_2\le8\\2x_1+5x_2\le10\\3x_1+2x_2+4x_3\le16\\x_1,x_2,x_3\ge0\end{cases} 
　　通过上述分析,可得其线性规划的模型如下 
　　maxZ = 3x1 + 5x2 + 4x3 
　　\begin{cases}2x_1+3x_2\le8\\2x_1+5x_2\le10\\3x_1+2x_2+4x_3\le16\\x_1,x_2,x_3\ge0\end{cases}(6) 
　　利用单纯形法求之得 
　　[x1,x2,x3] = [104 / 41,40 / 41,66 / 41],Zl = 776 / 41 
　　显然在上述问题中,约束条件是具有伸缩性的,比如库存原料量和生产时间,因此这是一个模糊线性规划问题,与模型(2)相对应的模糊线性规划的模型为: 
　　\max Z=3x_1+5x_2+4x_3\ge Z_l 
　　\begin{cases}2x_1+3x_2\le8\\2x_1+5x_2\le10\\3x_1+2x_2+4x_3\le16\\x_1,x_2,x_3\ge0\end{cases}(7) 
　　取模型(6)中的条件1,2,3的伸缩量为1.3,1,1,此时对应该条件的线性规划的最优解为[x1,x2,x3] = [2.059,1.5609,2.254],Zl = 19.34 
　　这样,由于约束条件的伸缩值为d1 = 1.3,d2 = 1,d3 = 1,目标函数的伸缩值为d0 = 19.34 − 18.927 = 0.413,模糊线性规划模型(7)可变为普通线性规划模型为: 
　　maxλ 
　　\begin{cases}2x_1+3x_2+1.3\lambda\le9.3\\2x_1+5x_2+\lambda\le11\\3x_1+2x_2+4x_3+\lambda\le17\\3x_1+5x_2+4x_3-0.413\lambda\ge19.43\\x_1,x_2,x_3,\lambda\ge0\end{cases}(8) 
　　对上述模型求解,可得对应于最大隶属度λ = 0.312下,其最大利润为19.14,显然比普通线性规划的利润多0.213万元。 
　　(1)在企业的生产过程中,存在着许多不确定的因素,这些因素导致企业的管理和决策具有一定的弹性,这也给企业的管理者带来了比较麻烦的问题,而模糊线性规划是解决这类难题的行之有效的方法。 
　　(2)模糊线性规划利用“令人满意的解”代替了普通线性规划的“最优的解”,更符合实际,但伸缩值的选择有时要参考实际情况,有时又要借助以往的实践经验,有一定的难度,应该慎之又慎,要具体问题具体分析。 
 
 参考文献 
 
 
  1. ↑ 1.0 1.1 杨树国.模糊线性规划在企业生产管理中的应用研究[J].哈尔滨商业大学学报(自然科学版),2002,18(3)
    2.  
  2. ↑ 黄汉英,熊先安,魏明新·模糊线性规划在优化饲料配方软件中的应用[J]·农业工程学报,2000,5:107~108
    3.  
  3. ↑ 张玲·线性规划模型在生产管理中运用之浅见[J].商业研究,2001,4:1-2