格拉丘纳斯的上下级关系理论
法国管理顾问格拉丘纳斯（V. A. Graicunas）在1933 年首次发表的一篇论文中，分析了上下级之间可能存在的关系，并提出了一个用来计算在任何管理宽度下，可能存在的人际关系数的数学模型。他的理论把上下级关系分为三种类型：
（一）直接的单一关系。指上级直接地、个别地与其直属下级发生联系。
（二）直接的组合关系。存在于上级与其下属人员的各种可能组合之间的联系。
（三）交叉关系。即下属彼此打交道的联系。
如果A 有三个下属B、C、 D，那么他们之间存在的这三种关系如表1 所示。
表1
可能有人会认为类似A→B 和C 与A→C 和B 这样的关系是一样的，但格拉丘纳斯认为是不同的。因为其中有一个由“以谁为主”的问题所造成的心理状态。
通过这三种上下级关系的分析，格拉丘纳斯认为，在管理宽度的算术级数增加时，主管人员和下属间可能存在的互相交往的人际关系数几乎将以几何级数增加。据此，他提出了一个可以用在任何管理宽度下计算上下级人际关系数目的经验公式：
C = n[2n − 1 + (n − 1)] 或
式中，C── 各种可能存在的联系总数，即关系数；
N── 一个管理者直接控制的下属人数，即管理幅度。
当N＝1，C＝1； N＝2，C＝6； N＝3，C＝18； N＝10，C＝5210
根据这一公式，不同下属人数的可能关系数可见表2。
表2
由此可见，随着管理宽度的增加，上下级之间的相互关系数量也在急剧上升。这说明管理较多下属的复杂性，因此主管人员在增加下属人数前一定要三思而行。
需要指出的是，格拉丘纳斯的这个公式没有涉及上下级关系发生的频次和密度，因而它的实用性受到了一走的限制。对一个主管人员来说，相互关系和所发生的频次和密度（可用所需时间来计算）也应是在确定下属人数时所考虑的重要因素。
总之，管理幅度受多方面因素的影响，这也决定了管理幅度具有很大的弹性。