对数曲线预测法

什么是对数曲线预测法^[1]

　　对数曲线预测法是指根据预测对象具有对数曲线变动趋势的历史数据，拟合成一条对数曲线，通过建立对数模型进行预测的方法。

　　(一)模型特征和适用范围

　　对数曲线的模型为

　　 $\widehat{y}=a+blnt$ 　　(1)

　　其图形如图所示。

　　对数曲线在图形上呈现为一条单调递增的曲线，并且增长速度逐渐减慢，这种趋势正符合那种不断增加，但增长速度却不断减小的预测对象。

　　(二)参数a，b的求法

　　要利用对数曲线模型来预测对数的趋势值，则必先求参数a，b。要求a，b，则只需将t的对数(1nt)看成是一个变量T，则指数曲线模型即可转化成一个直线模型。

　　 $\widehat{y}=a+bT$ 　　(2)

　　这样我们就可用直线模型中求参数。和6的方法来求a,b。

　　如：利用最小二乘法可推a，b为

　　 $\begin{cases}a=\frac{\sum y-b\sum T}{n}\\b=\frac{n\sum yT-\sum y\sum T}{n\sum T^2-(\sum T)^2}\end{cases}$

　　将T=lnt化入上式可得

　　 $\begin{cases}a=\frac{\sum y-b\sum lnt}{n}\\b=\frac{n\sum ylnt-\sum y\sum lnt}{n\sum lnt^2-(\sum lnt)^2}\end{cases}$

　　因此，我们一旦求出参数a和b，即可确定模型进行预测。

　　预测对象的增长趋势近似于对数函数曲线，并且在预测期限内不会发生突变。

　　例某地区自1980-1994年彩色电视机的销售量如表所示，试预测1995年的销售量。

年份	1980	1981	1982	1983	1984	1985	1986	1987	1988	1989	1990	1991	1992	1993	1994
销售量	200	320	400	445	485	515	540	560	585	600	620	635	650	660	665

　　由该地区1980-1994年彩电销售的历史数据可以看出，这15年来，彩电的销售量一直在不断的增加。但逐年的增长量却是在不断减少，即增长速度在不断递减。因此，我们可以利用对数曲线预测法来研究其发展趋势，预测其他年度的销售量。

　　若取1980-1994年的年序数t分别为l，2，3，…，15则可列表计算出相应数据(见下表)。

　　 $b=\frac{15\times16138.15179-27.8993\times7880}{15\times60.452-27.8993}=173.086$

　　 $a=\frac{7880-173.086\times27.8993}{15}$