大数定律

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大数定律（Law of Large Numbers）

什么是大数定律

　　大数定律是指在随机试验中，每次出现的结果不同，但是大量重复试验出现的结果的平均值却几乎总是接近于某个确定的值。

　　其原因是，在大量的观察试验中，个别的、偶然的因素影响而产生的差异将会相互抵消，从而使现象的必然规律性显示出来。例如，观察个别或少数家庭的婴儿出生情况，发现有的生男，有的生女，没有一定的规律性，但是通过大量的观察就会发现，男婴和女婴占婴儿总数的比重均会趋于50%。

大数定律的表现形式

　　定义1：设 $\varepsilon_n(n=1,2,\cdots)$ 为概率空间 $(Ω, F, P)$ 上定义的随机变量序列(简称随机序列)，若存在随机变数 $\varepsilon$ ，使对任意 $\varepsilon>0$ ，恒有：

$\lim_{n\to\infty}p{|\varepsilon_n-\varepsilon|\ge\varepsilon}=0$

$\lim_{n\to\infty}p{|\varepsilon_n-\varepsilon|\le\varepsilon}=1$

　　则称随机序列 ${\varepsilon_n}$ 依概率收敛于随机变量 $\varepsilon$ ( $\varepsilon$ 也可以是一个常数)，并用下面的符号表示：

　　 $\lim_{n\to\infty}\varepsilon_n=\varepsilon(p)$ 或 $\varepsilon_n\overrightarrow{p}\varepsilon$

　　定义2：设 ${\varepsilon_n}$ 为一随机序列，数学期望 $E(\varepsilon_n)$ )存在，令 $\bar{\varepsilon_n}= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \varepsilon_i$ ，若 $\lim_{n\to\infty}[\bar{\varepsilon_n}-E(\bar{\varepsilon_n})]=$ 0(P)，则称随机序列 ${\varepsilon_n}$ 服从大数定律，或者说大数法则成立。

　　定义3：设 $F n (x)$ 是分布函数序列，若存在一个非降函数F(x)，对于它的每一连续点x，都有 $\lim_{n\to\infty}F_n(x)=F(x),F_n(x)\overrightarrow{w}F(x)$ ，则称分布函数序列 $F n (x)$ 弱收敛于F(x)。

　　定义4：设 $F_n(x)(n=1,2,3,\cdots),F(x)$ 分别是随机变量 $\varepsilon_n(n=1,2,3,\cdots)$ 及 $\varepsilon$ 的分布函数，若 $F_n(x)\overrightarrow{w}F(x)$ ，则称 ${\varepsilon_n}$ 依分布收敛于 $\varepsilon$ ，亦记为 $\varepsilon_n\overrightarrow{L}\varepsilon$ ，且有：(1)若 $\varepsilon_n\overrightarrow{P}\varepsilon$ ，则 $\varepsilon_n\overrightarrow{L}\varepsilon$ ；(2)设c为常数，则 $\varepsilon_n\overrightarrow{P}c$ 的充要条件是 $\varepsilon_n\overrightarrow{L}c$ 。