逻辑与

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逻辑与(logical conjunction)

什么是逻辑与

　　在逻辑和数学中，逻辑与或逻辑合取或且是一个二元逻辑运算符。如果其两个变量的真值都为“真”，其结果为“真”，否则其结果为“假”。

　　基本符号： $\land$

　　中文名：逻辑与，合取，交集，按位与，逻辑乘，与门等

　　命题逻辑中的二元连接词合取，是一个两元算子，集合论中的交集算子，二进制中的逻辑乘算子，按位与（Bitwise AND），逻辑门中的“与”门（AND gate），编程语言中的&或and运算符等等。

　　逻辑与 $\land$ 是个二元运算符，运算结果取值为真的条件是，当且仅当两个命题的取值都真时。命题是取值要么是真要么是假的二值语句，没有第三种取值，或说值域为{真，假}或是{T,F}或是{0,1}。未知真又未知假的语句是猜想；既真又假，既不真又不假的语句是悖论。

　　复合命题 $~A \and B$ ，读作A合取B，在GCT逻辑中，也叫联言命题。

逻辑与的真值表定义

　　 $~A \and B$ 的真值表:

　　运算结果为真时，只存在一种输入组合，A与B都为真时。其余三种输入组合，运算结果都是假。

INPUT		OUTPUT
$A$	$B$	$A \and B$
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

逻辑与推理规则

　　(一)合取引入规则（∧+）（conjunction introduction rule）：

推出（Therefore）, A and B.

形式化为：

$\mathbf{A},$

$\mathbf{B}$

$\vdash A \and B$

例如:

Bob likes apples.

Bob likes oranges.

Therefore, Bob likes apples and oranges.

　　(二)合取消去规则（∧-）（Conjunction elimination rule）：

A and B.

推出（Therefore）, A.

或者,

A and B.

推出（Therefore）, B.

形式化为:

$A \and B$

$\vdash A$

或者,

$A \and B$

$\vdash B$

逻辑与的运算律

可交换律

$A \and B$	$\Leftrightarrow$	$B \and A$
	$\Leftrightarrow$

可结合律

$~A$	$~~~\and~~~$	$(B \and C)$	$\Leftrightarrow$			$(A \and B)$	$~~~\and~~~$	$~C$
	$~~~\and~~~$		$\Leftrightarrow$		$\Leftrightarrow$		$~~~\and~~~$

幂等律

$~A~$	$~\and~$	$~A~$	$\Leftrightarrow$	$A~$
	$~\and~$		$\Leftrightarrow$

逻辑与

目录

什么是逻辑与

逻辑与的真值表定义

逻辑与推理规则

逻辑与的运算律