克罗内克积

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什么是克罗内克积

　　克罗内克积是指两个任意大小的矩阵间的运算，表示为 $\otimes$ 。克罗内克积是张量积的特殊形式，以德国数学家利奥波德•克罗内克命名。

克罗内克积的定义

　　如果A是一个m×n的矩阵，而B是一个p×q的矩阵，克罗内克积 $A\otimes B$ 则是一个mp×nq的分块矩阵

$A\otimes B=\begin{bmatrix}a_{11}B&\cdots&a_{1n}B\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}B&\cdots&a_{mn}B\end{bmatrix}.$

　　更具体地可表示为

$A\otimes B=\begin{bmatrix} a_{11}b_{11}&a_{11}b_{12}&\cdots&a_{11}b_{1q}& \cdots&\cdots&a_{1n}b_{11}&a_{1n}b_{12}&\cdots&a_{1n}b_{1q}\\ a_{11}b_{21}&a_{11}b_{22}&\cdots&a_{11}b_{2q}& \cdots&\cdots&a_{1n}b_{21}&a_{1n}b_{22}&\cdots&a_{1n}b_{2q}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&&&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{11}b_{p1}&a_{11}b_{p2}&\cdots&a_{11}b_{pq}& \cdots&\cdots&a_{1n}b_{p1}&a_{1n}b_{p2}&\cdots&a_{1n}b_{pq}\\ \vdots&\vdots&&\vdots&\ddots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\ \vdots&\vdots&&\vdots&&\ddots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{m1}b_{11}&a_{m1}b_{12}&\cdots&a_{m1}b_{1q}& \cdots&\cdots&a_{mn}b_{11}&a_{mn}b_{12}&\cdots&a_{mn}b_{1q}\\ a_{m1}b_{21}&a_{m1}b_{22}&\cdots&a_{m1}b_{2q}& \cdots&\cdots&a_{mn}b_{21}&a_{mn}b_{22}&\cdots&a_{mn}b_{2q}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&&&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}b_{p1}&a_{m1}b_{p2}&\cdots&a_{m1}b_{pq}& \cdots&\cdots&a_{mn}b_{p1}&a_{mn}b_{p2}&\cdots&a_{mn}b_{pq} \end{bmatrix}.$

克罗内克积的特性

双线性和结合律

　　克罗内克积是张量积的特殊形式，因此满足双线性映射|双线性与结合律：

$A\otimes (B+C)=A\otimes B+A\otimes C$ ，

$(A+B)\otimes C=A\otimes C+B\otimes C$ ，

$(kA)\otimes B=A\otimes (kB)=k(A\otimes B)$ ，

$(A\otimes B)\otimes C=A\otimes (B\otimes C)$ 。

　　其中，A,B和C是矩阵，而k是常量。

　　克罗内克积不符合交换律：

　　通常，A $\otimes$ B不同于B $\otimes$ A。

　　A $\otimes$ B和B $\otimes$ A是排列等价的，也就是说，存在排列矩阵P和Q，使得: $A\otimes B=P\,(B\otimes A)\,Q.$

　　如果A和B是方块矩阵，则A $\otimes$ B和B $\otimes$ A甚至是排列相似矩阵|相似的，也就是说，我们可以取P=Q^T。

混合乘积性质

　　如果A、B、C和D是四个矩阵，且矩阵乘积AC和BD存在，那么：

$(\mathbf{A}\otimes \mathbf{B})(\mathbf{C}\otimes \mathbf{D})=\mathbf{AC}\otimes \mathbf{BD}.$

　　这个性质称为“混合乘积性质”，因为它混合了通常的矩阵乘积和克罗内克积。于是可以推出，A $\,\otimes \,$ B是可逆矩阵|可逆的当且仅当A和B是可逆的，其逆矩阵为：

$(\mathbf{A}\otimes \mathbf{B})^{-1}=\mathbf{A}^{-1}\otimes \mathbf{B}^{-1}.$

克罗内克和

　　如果A是n×n矩阵，B是m×m矩阵， $\mathbf{I}_k$ 表示k×k单位矩阵，那么我们可以定义克罗内克和 $\oplus$ 为：

$\mathbf{A}\oplus\mathbf{B}=\mathbf{A}\otimes \mathbf{I}_m+\mathbf{I}_n\otimes \mathbf{B}.$

谱

　　假设A和B分别是大小为n和q的方块矩阵。设λ₁，……，λ_n为A的特征值，μ₁，……，μ_q为B的特征值。那么A $\,\otimes \,$ B的特征值为：

λ i μ j

,i=1,……，n;j=1,……,q。

　　于是可以推出，两个矩阵的克罗内克积的迹和行列式为：

$\operatorname{tr}(\mathbf{A}\otimes \mathbf{B})=\operatorname{tr}\mathbf{A}\,\operatorname{tr}\mathbf{B}\quad\mbox{and}\quad\det(\mathbf{A}\otimes \mathbf{B})=(\det\mathbf{A})^q(\det\mathbf{B})^n.$

奇异值

　　如果A和B是长方矩阵，那么我们可以考虑它们的奇异值分解|奇异值。假设A有r_A个非零的奇异值，它们是：

σ A, i

,i=1,……,

r A

　　类似地，设B的非零奇异值为：

σ B, i

,i=1,……,

r B

　　那么克罗内克积A $\,\otimes \,$ B有r_Ar_B个非零奇异值，它们是：

σ A, i σ B, j

, i=1,……,

r A

, j=1,……,

r B

　　由于一个矩阵的秩等于非零奇异值的数目，因此我们有：

$\operatorname{rank}(\mathbf{A}\otimes \mathbf{B})=\operatorname{rank}\mathbf{A}\,\operatorname{rank}\mathbf{B}.$

与抽象张量积的关系

　　矩阵的克罗内克积对应于线性映射的抽象张量积。特别地，如果向量空间V、W、X和Y分别具有基{v₁,...,v_m}、{w₁,...,w_n}、{x₁,...,x_d}和{y₁,...,y_e}，且矩阵A和B分别在恰当的基中表示线性变换S:V→X和T:W→Y，那么矩阵A⊗B表示两个映射的张量积S⊗T:V⊗W→X⊗Y，关于V⊗W的基{v₁⊗w₁,v₁⊗w₂,...,v₂⊗w₁,...,v_m⊗w_n}和X⊗Y的类似基。

转置

　　克罗内克积转置运算符合分配律：

$(A\otimes B)^T=A^T\otimes B^T.$

克罗内克积的矩阵方程

　　克罗内克积可以用来为一些矩阵方程得出方便的表示法。例如，考虑方程AXB=C，其中A、B和C是给定的矩阵，X是未知的矩阵。我们可以把这个方程重写为

$(B^\top\otimes A)\,\operatorname{vec}(X)=\operatorname{vec}(AXB)=\operatorname{vec}(C).$

　　这样，从克罗内克积的性质可以推出，方程AXB=C具有唯一的解，当且仅当A和B是非奇异矩阵。

　　在这里，vec(X)表示矩阵X的向量化，它是把X的所有列堆起来所形成的列向量。

　　如果把X的行堆起来，形成列向量x，则 $A X B$ 也可以写为 $(A\otimes B^\top)x$ 。

克罗内克积的例子

$\begin{bmatrix} 1&2\\ 3&1\\ \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0&3\\ 2&1\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\cdot0&1\cdot3&2\cdot0&2\cdot3\\ 1\cdot2&1\cdot1&2\cdot2&2\cdot1\\ 3\cdot0&3\cdot3&1\cdot0&1\cdot3\\ 3\cdot2&3\cdot1&1\cdot2&1\cdot1\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0&3&0&6\\ 2&1&4&2\\ 0&9&0&3\\ 6&3&2&1 \end{bmatrix}$ .

$\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\\ a_{31}&a_{32} \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} b_{11}&b_{12}&b_{13}\\ b_{21}&b_{22}&b_{23} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11}b_{11}&a_{11}b_{12}&a_{11}b_{13}&a_{12}b_{11}&a_{12}b_{12}&a_{12}b_{13}\\ a_{11}b_{21}&a_{11}b_{22}&a_{11}b_{23}&a_{12}b_{21}&a_{12}b_{22}&a_{12}b_{23}\\ a_{21}b_{11}&a_{21}b_{12}&a_{21}b_{13}&a_{22}b_{11}&a_{22}b_{12}&a_{22}b_{13}\\ a_{21}b_{21}&a_{21}b_{22}&a_{21}b_{23}&a_{22}b_{21}&a_{22}b_{22}&a_{22}b_{23}\\ a_{31}b_{11}&a_{31}b_{12}&a_{31}b_{13}&a_{32}b_{11}&a_{32}b_{12}&a_{32}b_{13}\\ a_{31}b_{21}&a_{31}b_{22}&a_{31}b_{23}&a_{32}b_{21}&a_{32}b_{22}&a_{32}b_{23} \end{bmatrix}$ .