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单位矩阵

  	      	      	    	    	      	    
目录
  
 
 什么是单位矩阵 
 
　　在线性代数中，n阶单位矩阵，是一个n \times n的方形矩阵，其主对角线元素为1，其余元素为0。单位矩阵以In表示；如果阶数可忽略，或可由前后文确定的话，也可简记为I。（在部分领域中，如量子力学，单位矩阵是以粗体字的1表示，否则无法与I作区别。） 
 
I_1 = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix} ,\  I_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} ,\  I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ,\ \cdots ,\  I_n = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix} 
 
　　一些数学书籍使用U和E（分别意为单位矩阵和基本矩阵），不过I更加普遍。 
 
 单位矩阵的性质 
 
　　根据矩阵乘法的定义，单位矩阵In的重要性质为： 
 
AIn = A   且   InB = B 
 
　　特别是单位矩阵作为所有n阶矩阵的环的单位，以及作为由所有n阶可逆矩阵构成的一般线性群GL(n)的单位元（单位矩阵明显可逆，单位矩阵乘自己，仍是单位矩阵）。 
　　这些n阶矩阵经常表示来自n维矢量空间自己的线性变换，In表示恒等函数，而不理会基。 
　　单位矩阵中的第i列即为单位矢量ei。单位矢量同时也是单位矩阵的特征矢量，特征值皆为1，因此这是唯一的特征值，且具有重数n。由此可见，单位矩阵的行列式为1，且迹数为n。 
　　有时使用这个记法简洁的描述对角线矩阵，写作： 
 
In = diag(1,1,...,1) 
 
　　也可以克罗内克尔δ记法写作： 
 
(In)ij = δij 
 
 单位矩阵的证明[1] 
 
　　单位矩阵E具有与数1类似的性质。 
　　容易证明： 
　　(1)E_nB_{n\times m}=B_{n\times m} 
　　(2)B_{n\times m}E_m=B_{n\times m} 
　　(3)AnEn = EnAn = An 
　　(4)EE = E 
 
 参考文献 
 
 
  1. ↑ 侯谦民,董汉芬.高职高专教材  高等数学  （下册）[M].湖北科学技术出版社,2006年01月第1版.