中心极限定理

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中心极限定理

中心极限定理（Central Limit Theorems）

什么是中心极限定理

　　大数定律揭示了大量随机变量的平均结果，但没有涉及到随机变量的分布的问题。而中心极限定理说明的是在一定条件下，大量独立随机变量的平均数是以正态分布为极限的。

　　中心极限定理是概率论中最著名的结果之一。它提出，大量的独立随机变量之和具有近似于正态的分布。因此，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么有很多自然群体的经验频率呈现出钟形(即正态)曲线这一事实，因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使正态分布有了广泛的应用。

中心极限定理的表现形式

　　中心极限定理也有若干个表现形式，这里仅介绍其中四个常用定理：

　　（一）辛钦中心极限定理

　　设随机变量 $x_1,x_2\cdots,x_n$ 相互独立，服从同一分布且有有限的数学期望a和方差 $σ 2$ ，则随机变量 $\bar{x}=\frac{\sum x_i}{n}$ ，在n无限增大时，服从参数为a和 $\frac{\sigma^2}{n}$ 的正态分布即n→∞时，

　　 $\bar{x} \to N(a,\frac{\sigma^2}{n})$

　　将该定理应用到抽样调查，就有这样一个结论：如果抽样总体的数学期望a和方差 $σ 2$ 是有限的，无论总体服从什么分布，从中抽取容量为n的样本时，只要n足够大，其样本平均数的分布就趋于数学期望为a，方差为 $σ 2 / n$ 的正态分布。

　　（二）德莫佛——拉普拉斯中心极限定理

　　设 $μ n$ 是n次独立试验中事件A发生的次数，事件A在每次试验中发生的概率为P，则当n无限大时，频率设 $μ n / n$ 趋于服从参数为 $p,\frac{p(1-p)}{n}$ 的正态分布。即：

　　 $\frac{\mu_n}{n} \to N(p,\frac{p(1-p)}{n})$

　　该定理是辛钦中心极限定理的特例。在抽样调查中，不论总体服从什么分布，只要n充分大，那么频率就近似服从正态分布。

　　（三）李亚普洛夫中心极限定理

　　设 $x_1,x_2,\cdots,x_n,\cdots$ 是一个相互独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方差： $\alpha_k=E(X_k),b_k^2=D(X_k)(k=1,2,\Lambda,n\Lambda)$ 。

　　记 $B_n^2=\sum_{k=1}^n b_k^2$ ，如果能选择这一个正数δ>0，使当n→∞时， $\frac{1}{B_n2+ \delta}\sum_{k=1}^nE|x_k-a_k|^{2+\delta}$ ，则对任意的x有：

　　 $P\begin{Bmatrix}\frac{1}{B_n}\sum_{k=1}^n(x_k-a_k)<x\end{Bmatrix}\to\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^xe^{-\frac{t^2}{2}}dt$

　　该定理的含义是：如果一个量是由大量相互独立的随机因素影响所造成的，而每一个别因素在总影响中所起的作用不很大，则这个量服从或近似服从正态分布。

　　（四）林德贝尔格定理

　　设 $x_1,x_2,\cdots,x_n,\cdots$ 是一个相对独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方差满足林德贝尔格条件，则当n→∞时，对任意的x，有 $P\begin{Bmatrix}\frac{1}{B_n}\sum_{k=1}^n(x_k-a_k)<x\end{Bmatrix}\to\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^xe^{-\frac{t^2}{2}}dt$ 。