第二十四章达标测试卷
一、选择题(每题3分，共30分)
1．下列说法不正确的是( )
A．圆是中心对称图形 B．三点确定一个圆
C．半径相等的两个圆是等圆 D．每个圆都有无数条对称轴
2．如图，⊙O的直径AB＝4，点C在⊙O上，∠ABC＝30°，则AC的长是( )
A．1 B． C． D．2
(第2题) (第3题) (第4题) (第5题)
3．如图，⊙O中，＝，∠BAC＝50°，则∠AEC的度数为( )
A．65° B．75° C．50° D．55°
4．如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心，半径为5的圆内有一点P(0，－3)，那么经过点P的所有弦中，最短的弦的长为( )
A．4 B．5 C．8 D．10
5．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C是劣弧AB上的一点，若∠P＝40°，则∠ACB等于( )
A．80° B．110° C．120° D．140°
6．在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝3，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD的长为半径的圆，那么下列判断正确的是( )
A．点B，C均在圆P外 B．点B在圆P外，点C在圆P内
C．点B在圆P内，点C在圆P外 D．点B，C均在圆P内
7．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，将△ABC绕边AC所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的全面积是( )
A．25 π B．65 π C．90 π D．130 π
8．如图，某宾馆大厅要铺圆环形的地毯，工人师傅只测量了与小圆相切的大圆的弦AB的长，就计算出了圆环的面积，若测量得AB的长为20 m，则圆环的面积为( )
A．10 m2 B．10 π m2 C．100 m2 D．100 π m2
(第8题) (第9题) (第10题)
9．如图，已知一块圆心角为270°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽(接缝忽略不计)，圆锥底面圆的直径为60 cm，则这块扇形铁皮的半径是( )
A．40 cm B．50 cm C．60 cm D．80 cm
10．如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D，E，过劣弧DE(不包括端点D，E)上任一点P作⊙O的切线MN，与AB，BC分别交于点M，N，若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为( )
A．r B．r C．2r D．r
二、填空题(每题3分，共24分)
11．如图，已知点A，B，C在⊙O上，AC∥OB，∠BOC＝40°，则∠ABO＝________．
(第11题) (第13题) (第14题) (第15题)
12．已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是________．
13．如图，点A，B，C，D都在⊙O上，∠ABC＝90°，AD＝3，CD＝2，则⊙O的直径的长是________．
14．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则的长为________(结果保留π)．
15．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC，BD为⊙O的直径，AD＝6，则BC＝________．
16．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠C＝20°， 则∠CDA＝________.
(第16题) (第17题) (第18题)
17．如图，四边形OABC是菱形，点B，C在以点O为圆心的弧EF上，且∠1＝∠2.若扇形OEF的面积为3π，则菱形OABC的边长为________．
18．如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则图中阴影部分的面积为________(结果用含π的式子表示)．
三、解答题(19～22题每题10分，其余每题13分，共66分)
19．如图，AB是⊙O的切线，A为切点，AC是⊙O的弦，过O作OH⊥AC于H.若OH＝2，AB＝12，BO＝13.求：
(1)⊙O的半径；
(2)AC的长．
(第19题)
20．如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于另一点C，∠A＝∠B＝30°.
(1)直线BD是否与⊙O相切？为什么？
(2)连接CD，若CD＝5，求AB的长．
(第20题)
21．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，AC，PB的延长线相交于点D.
(1)若∠1＝20°，求∠APB的度数．
(2)当∠1为多少度时，OP＝OD？并说明理由．
(第21题)
22．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，圆心O在AC上，∠A＝30°，D为的中点．求证：
(1)AB＝BC；
(2)四边形BOCD是菱形．
(第22题)
23．如图，以等边三角形ABC一边AB为直径的⊙O与边AC，BC分别交于点D，E，过点D作DF⊥BC，垂足为点F.
(1)求证：DF为⊙O的切线；
(2)若等边三角形ABC的边长为4，求DF的长；
(3)求图中阴影部分的面积．
(第23题)
24．如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点O(0，0)，点A(，0)与点B(0，－)，点D在劣弧OA上，连接BD交x轴于点C，且∠COD＝∠CBO.
(1)求⊙M的半径；
(2)求证：BD平分∠ABO；
(3)在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰为⊙M的切线，求此时点E的坐标．
(第24题)
答案
一、1.B 2.D 3.A 4.C 5.B 6.C
7．C 8.D 9.A 10.C
二、11.20° 12.18 13. 14.
15．6 16.125° 17.3 18.π－1
三、19.解：(1)连接OA.
∵AB是⊙O的切线，A为切点，
∴OA⊥AB.
在Rt△AOB中，AO＝＝＝5,∴⊙O的半径为5.
(2)∵OH⊥AC，
∴在Rt△AOH中，AH＝＝＝.
∴AC＝2AH＝2.
20．解：(1)直线BD与⊙O相切．
理由：连接OD.
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠A＝30°.
∴∠ODB＝180°－∠ODA－∠A－∠B＝180°－30°－30°－30°＝90°，
即OD⊥BD.
∴直线BD与⊙O相切．
(2)由(1)知，∠ODA＝∠A＝30°.
∴∠DOB＝∠ODA＋∠A＝60°.
又∵OC＝OD，
∴△DOC是等边三角形．
∴OC＝OD＝OA＝CD＝5.
又∵∠B＝30°，∠ODB＝90°，
∴OB＝2OD＝10.
∴AB＝OA＋OB＝5＋10＝15.
21．解：(1)∵PA是⊙O的切线，
∴PA⊥OA.
∴∠BAP＝90°－∠1＝70°.
又∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB.
∴∠ABP＝∠BAP＝70°.
∴∠APB＝180°－70°×2＝40°.
(2)当∠1＝30°时，OP＝OD.
理由：当∠1＝30°时，
由(1)知∠BAP＝∠ABP＝60°，
∴∠APB＝180°－60°×2＝60°.
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴∠OPB＝∠APB＝30°.
又∵∠D＝∠ABP－∠1＝60°－30°＝30°，∴∠OPB＝∠D.
∴OP＝OD.
22．证明：(1)∵AB是⊙O的切线，B为切点，
∴∠OBA＝90°.
∴∠AOB＝90°－30°＝60°.
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB.
又∵∠AOB＝∠OBC＋∠OCB，
∴∠OCB＝30°＝∠A.
∴AB＝BC.
(2)连接OD，交BC于点M.
∵D是的中点，
∴OD垂直平分BC.
∴BM＝CM，OD⊥BC.
在Rt△OMC中，
∵∠OCM＝30°，
∴OC＝2OM＝OD.
∴OM＝DM.
∴四边形BOCD是平行四边形．
又∵OD⊥BC，
∴四边形BOCD是菱形．
23．(1)证明：连接DO.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠C＝60°.
∵OA＝OD，
∴△OAD是等边三角形．
∴∠ADO＝60°.
∵DF⊥BC，
∴∠CDF＝90°－∠C＝30°，
∴∠FDO＝180°－∠ADO－∠CDF＝90°.
∴DF为⊙O的切线．
(2)解：∵△OAD是等边三角形，
∴AD＝AO＝AB＝2.
∴CD＝AC－AD＝2.
在Rt△CDF中，∵∠CDF＝30°，
∴CF＝CD＝1.
∴DF＝＝.
(3)解：连接OE，易知△EOB是等边三角形，由(2)同理可知CE＝2.
∵CF＝1，
∴EF＝1.
又∵∠DOE＝180°－∠AOD－∠EOB＝60°，
∴S直角梯形FDOE＝(EF＋OD)·DF＝，S扇形OED＝＝，
∴S阴影＝S直角梯形FDOE－S扇形OED＝－.
24．(1)解：∵∠AOB＝90°，
∴AB是⊙O的直径．
∴AB＝＝2.
∴⊙M的半径为.
(2)证明：∵∠COD＝∠CBO，∠COD＝∠ABD，
∴∠ABD＝∠CBO.
∴BD平分∠ABO.
(3)解：∵AB为⊙M的直径，
∴过点A作直线l⊥AB，直线l与BD的延长线的交点即是所求的点E，此时直线AE必为⊙M的切线(如图)．
(第24题)
易求得OC＝，∠ECA＝∠EAC＝60°，
∴△ECA为边长等于的正三角形．
设点E的坐标为(x，y)，
易得x＝＋×＝，
y＝×＝，
∴点E的坐标为.
