本文内容选自2021年长春中考数学几何压轴题。通过轴对称,产生了动点轨迹(定点定长)为圆的图形,再研究定角定弦的角度问题。
题目设计比较巧妙,难度不小,可以深入研究。
【中考真题】
(2021·长春)如图,在中,,,,点为边的中点.动点从点出发,沿折线以每秒1个单位长度的速度向点运动,当点不与点、重合时,连结.作点关于直线的对称点,连结、.设点的运动时间为秒.(1)线段的长为 ;(2)用含的代数式表示线段的长;(3)当点在内部时,求的取值范围;
(4)当与相等时,直接写出的值.
【分析】
(1)先根据勾股定理求AC的长,再得一半的长。
(2)分为在AB或BC上两种情况讨论,BP与P的路程之差的绝对值即可。
(3)根据轴对称的性质,可以发现AD=A′D,点A′到定点D的距离始终为定长AD的长度。那么点A′的轨迹即为以点D为圆心,AD为半径的圆。
由于点A′在△ABC的内部,那么就可以先画出图形,再确定临界点即可。也就是点A′在AB上或与C重合时即可。
(4)∠B为定角,虽然角度非特殊值,但是其三角函数值是可以求得的。那么点A与点D是定点,产生的角∠AA′D为定角,那么就是大家常说的定角定弦问题。只需以AD为弦构造一个圆,使得圆心角为∠B的2倍即可。
如下图所示:
以及还有另外一种对称的情况:
再根据角度相等,利用相似或三角进行求解即可。
【答案】解:(1)在中,由勾股定理得:,.故答案为:2.(2)当时,点在线段上运动,,当时,点在上运动,.综上所述,.
(3)如图,当点落在上时,,
,,,在中,,.
如图,当点落在边上时,,
,,,在中,,.
如图,点运动轨迹为以为圆心,长为半径的圆上,
时,点在内部.(4)如图,过点作于点,
当时,
,,,,,.
如图,当时,
,,,,,在中,,,,,
.
综上所述,或.