第10 章反函数和反三角函数 10.1 导数和反函数
第一章就回顾了反函数的基本知识, 可以快速地再看下. 现在讨论导数和反函数之间的两个联系.
10.1 .1 使用导数证明反函数存在
如果一个可导函数 f , 它的导数总是正的, 那么该函数一定是递增函数, 且满足水平线检验. 没有水平线会与 y = f (x) 相交两次. 由于 f 满足水平线检验, 所以我们知道 f 有反函数.
函数上只有一个点使得 h"(x)=0, 这样仍然有反函数.
10.1.2 导数和反函数：可能出现的问题
函数的导数可以偶尔是0, 而该函数仍然有反函数. 但下图中函数没有通过水平检验, 在 y=1 和该函数有无数次相交(红色线段标识出), 故不存在反函数.
一般来说当函数有不连续点或垂直渐近线时, 上面导数和反函数的方法也不再适用了.
10.1.3 求反函数的导数
知道函数 f 有反函数, 我们通常称之为f−1, 该反函数的导数就是原函数的导数的倒数.
如果一个函数, 它有反函数, 并且原函数在点 (x,y) 处的斜率为0, 则其反函数在点(y, x) 处的斜率将会是无限的.
10.2 反三角函数
将 sin(x) 定义域限制为区间 [-π/2, π/2], 则它满足水平线检验, 故它有反函数f−1, 写成sin−1(x)或 arcsin(x) .
10.2.2 反余弦函数
10.2.3 反正切函数
10.3 反双曲函数
要记住, 所有这些导数公式只有当 x 在相关函数本身的定义域内时才成立!
(本章完)
