如果说自然数是来源于对数量的刻画，有理数是来源于对比列的刻画，无理数是来源于对长度的刻画，那么，复数就完全是人为制造，是在现实生活中找不到实际背景的。复数被写成a+bi的形式，其a和b为实数，i被称为虚数，满足i2=-1，这是方程x2=-1的解。显然，问题出在虚数上，因为我们在乘法那一讲已经证明了：一个正数乘一个正数为正数，一个负数乘一个负数也是正数，因此，一个数自乘之后必然为正数，不管这个数是正数还是负数。也正因为如此，古希腊学者丢番图虽然知道一元二次方程有两个根，但其中有一个为虚数时，他宁可认为这个方程是不可解的。一直到16世纪，数学家们普遍认可丢番图这种处理虚数的办法。
虽然问题是求二次方程的解所引发的，可是迫使人们认真对待复数的却是因为求三次方程的解。意大利数学家卡尔丹在他1545年出版的著作《重要的艺术》中讨论了求解三次方程的代数方法。他的工作是在韦达之前，当时还没有抽象出代数方程的一般表达式，他分13种情况对三次方程进行了详细的讨论，给出了13种解题的公式，现在称这些公式为卡尔丹公式。在求解公式中一个让人十分尴尬的情况出现了：即便三个根都是实根，但是在用公式求解的时候会出现复数，比如，对于方程16+x2+x3=24x（当时不允许方程的一边为零），容易验证x=4是方程的一个根，于是，这个方程就等价于(x-4)(x2+5x-4)=0，检验其中的二次方程就可以知道其余两个根也都是实数，这样，这个三次方程的三个根都是实根。但是，直接用卡尔丹公式计算时会出现复数，那么，这样的方程是有解还是无解呢？
虚数的名称是笛卡尔给出的，他不能接受复根，于是，在他1637年出版的《几何》这本书中解释复根时说但它们始终是虚的。在数学发展史上，欧拉是第一个使用符号i来表示√-1的，并写在他1777年提交给圣彼得堡科学院的论文中，这篇论文直到1794年才发表，那是在欧拉逝世后11年。但是，欧拉并没有确切地掌握复数运算，在他1770年出版地《代数》一书中认为√-1•√-4=√-1X（-4）=√4=2，其中理由是√a•√b=√ab。
有了虚数的符号，就可以定义复数了，用C表示复数的集合。与实数不同，在复数集合中不存在大小关系，也就是说两个复数之间不能比较大小。回想我们最初的定义：数字是那些能够由小到大进行排列的符号，在这个意义上，复数确实不是数字。这并不以外，因为任何数对（包括向量）都不能在通常意义下比较大小。但是，复数集合却包含实数集合，因为只需要在复数中令虚数i前面的系数为0就可以了。对复数可以定义运算。
