数学模型是针对现实世界的特定对象，为了一定目的，进行必要的简化和假设，运用数学符号、数学公式、程序、图形等，概括表达问题的数量关系和空间形式的一种工具。人们可根据实际问题来建立数学模型，对它进行求解，然后根据结果去解决实际问题。我国著名学者周海中教授在1993年发表的《21世纪数学展望》一文中曾经指出：“数学模型在今后将显得越来越重要。”后来事实证明了他的这一预见。
数学模型大致可分为两类：正演数学模型和反演数学模型。正演数学模型是根据各变量之间的某种关系建立方程或方程组，通过对方程或方程组的求解得到数学模型；反演数学模型是根据实际数据，通过某种方法寻求能符合或基本符合这些实际数据的某些数学表达式，以此来建立数学模型。数学建模的一般过程为模型准备、模型假设、模型建立、模型求解、模型分析、模型检验；而建模的求解可采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值计算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术。
数学模型以其清晰简捷、易于操作的数学表达式，可明确表达事物发展过程中各变量之间的关系。它所表达的内容可以是定量的，也可以是定性的，但必须以定量的方式体现出来。它实际上是人们对现实世界的一种模拟或反映形式，因此与现实世界的原型有一定的“相似性”，抓住与原型相似的数学表达式或数学理论就是建立数学模型的关键性技巧。数学建模是沟通摆在面前的实际问题与数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁。数学模型当前已广泛应用于自然科学和社会科学的各个领域，并发挥着十分重要的作用。
例如中国科学院昆明动物研究所生物学家马占山研究员最近基于一个用于描述生物多样性时空分布的新数学模型，提出了一项预测估计潜在生物多样性的方法。潜在生物多样性也被称为“暗”生物多样性，其概念类似于物理学中“暗物质”，一般指局部群落中可能并不存在，但存在于特定生境的区域物种库中的物种。该数学模型有效地描述了不同时空菌群多样性的三维动态变化。而室内菌群的研究是目前建筑学和微生物交叉研究领域的重要热点课题；许多科学家已经开始探索室内环境微生物菌群动态对于居民健康的影响。
又如加拿大不列颠哥伦比亚大学物理学家本·蒂皮特博士与美国马里兰大学物理学家大卫·臧博士前不久创建了一个名为TARDIS的数学模型，以证明时空旅行是可行的。他们解释称，“我们的时空旅行模型通过弯曲时空将时间形成闭环，而不再是一条直线。”他们还声称，TARDIS是一种时空几何“气泡”，相应的时空旅行速度要快于光速。不过，蒂皮特博士表示：“虽然时空旅行在数学模型上是可行的，但由于目前没有相关的材料和方式来压缩时空，因此我们还无法建立一个时空机器。”
再如世界顶尖科学家协会副主席、2013年诺贝尔化学奖得主、美国斯坦福大学结构生物学家迈克尔·莱维特教授领衔的研究团队经过5个月对全球3546个不同国家地区的疫情数据追踪，最近提出一个全新的数学模型，用于预测每个地方新冠肺炎(COVID-19)疫情何时结束，以及确诊人数和死亡人数。他们认为，如果能够提前预测可能会造成的病例数和死亡率，那么对于决策者在制定政策以控制病原体和优化医疗资源分配时都会有非常重要的意义。
由于数学模型有着非常重要的作用，它越来越受到人们的关注和重视。就连我国今年高考数学试题也出现了数学模型的应用例子,如Ⅰ卷（供山东省使用）第6题，基于新冠肺炎疫情初始阶段累计感染病例数的数学模型的研究成果，考查了相关的数学知识和从资料中提取信息的能力，突出数学和数学模型的应用；全国Ⅲ卷文、理科第4题以新冠肺炎疫情传播的动态研究为背景，选择适合学生知识水平的Logistic模型作为试题命制的基础，考查学生对指数函数基本知识的理解和掌握，以及使用数学模型解决实际问题的能力。
文/钱芳（作者单位：苏州大学数学科学学院）
