已知∠1=∠2，∠3=∠4，求BD=？ 原创 2021-11-24 13:45 ·
如图，在矩形ABCD中，∠1=∠2，∠3=∠4，DE=2，DF=3，求BD长。这题怎么做呢？
∠1=∠2，∠3=∠4，也就是说BE、BF都是角平分线，角平分线有这样一个性质，角平分线上的点到角两边的距离相等。
我们是不是可以分别过点E和点F作BD的垂线？
但是作出这两条辅助线对求BD的长度并没有太大的帮助，那么应该怎么做呢？
我们可以延长BA以及BC，使得BM=BD，BN=BD，接着再连接ME、NF。
如上图，由边角边证全等可得
三角形BME和三角形BDE全等（BM=BD，∠1=∠2，BE=BE），
三角形BNF和三角形BDF全等（BN=BD，∠3=∠4，BF=BF）。
三角形BME和三角形BDE全等，所以ME=DE=2，∠M=∠ADB。
三角形BNF和三角形BDF全等，所以NF=DF=3，∠N=∠BDC。
而由四边形ABCD是矩形，可得∠ADB ∠BDC=90°，
而由等量代换可得∠M ∠BDC=90°。
在直角三角形AME中，∠M ∠AEM=90°，等量代换可得∠AEM=∠BDC，
而∠N=∠BDC，所以∠N=∠AEM。
在三角形AEM和三角形CNF中，
∠MAE=∠FCN=90°，∠AEM=∠N，
所以三角形AEM和三角形CNF相似。
三角形AEM和三角形CNF相似，它们的对应边成比例，
MA/FC=AE/CN=ME/FN，
而ME=2，FN=3，
所以MA/FC=AE/CN=2/3，
不妨假设MA=2x，AE=2y，则FC=3x，CN=3y，
由勾股定理可得MA² AE²=ME²，也就是4x² 4y²=4，即x² y²=1。
而由BM=BD，BN=BD可得BM=BN，
BM=BA AM=CF FD AM=5x 3，
BN=BC CN=AE ED CN=5y 2，
所以5x 3=5y 2。
由x² y²=1，5x 3=5y 2，解得x=3/5，y=4/5。
BD=BM=5x 3=6。
以上就是这道题的解法。除此之外，你还有其他方法吗？欢迎在评论区留言~
