对于任意一个圆，其面积S都是等于圆周率π与半径平方r^2的乘积。或者说，任意一个圆的面积与其半径平方之比都是相同的常数——圆周率。那么，这个结论是经过数学上的严格证明，还是一种数学直觉呢？事实上，圆面积公式（S=πr^2）在数学上能够严格证明，无论是我国古代的数学家，还是古希腊的数学家，都证明了这个公式。圆面积公式的证明方法有很多种，下面简单举几个例子。
（1）极限法一
如果把一个圆分成n个等份，然后将其拼接成如下的四边形：
当n趋于无穷大之时，也就是圆分成了无穷多个等份，那么，该四边形就会变成长方形。显然，这个长方形的长为半圆周长（πr），宽为圆的半径（r），该长方形的面积等于圆的面积，所以可得圆面积公式为：S=πr?r=πr^2。
不过，为了完成这样的证明，首先还需证明圆周长公式（C=2πr）。通过相似三角形原理，用几何法很容易可以证明圆的周长与直径之比为相等的常数，该常数即为圆周率。
（2）极限法二
把圆分成n等份，连接每个扇形中半径与圆的交点。并假设每个扇形的圆心角为2θ，则2θ=2π/n。
考察其中一个三角形OAB，根据三角函数可得，OC=rcosθ，AB=2rsinθ，三角形OAB的面积为：
S△OAB=1/2·AB·OC=r^2sinθcosθ
当n趋于无穷大时，圆的面积可以表示为：
S=lim(n→+∞)n·S△OAB
根据极限原理，可以算出S=πr^2。
（3）积分法一
严格意义上来说，这也是一种极限法，但这里是通过圆的方程（x^2+y^2=r^2）来严格计算圆面积：
（4）积分法二
如果把圆分成无数个厚度为dr的薄圆环，那么，每个圆环的面积为2πr·dr，对其进行积分可得：
总之，圆的面积与半径平方的比值为圆周率是经过严格数学证明的，并非经验公式。
