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2讲和、差、倍数应用题

第二讲和、差、倍数应用题71 第二讲和、差与倍数的应用题 做应用题是一种很好的思维锻炼.做应用题不但要会算,而且要多思考,善于发现题目中的数量关系,可以说做应用题是运用数学的开始. 加、减、乘是最基本的运算,和、差、倍数是两数之间最简单的数量关系.应用题的训练,就从这 一、和差问题 说到“和差问题”,小学高年级的同学,人人都会说:“我会!”和差问题的计算太简单了 .是的,知道两个数的和与差,求两数,有计算公式:大数 =(和 +差) 2 小数 =(和 -差) 2 会算,还要会灵活运用,要把某些应用题转化成和差问题来算. 先看几个简单的例子. 例 1 张明在期末考试时,语文、数学两门功课的平均得分是95 分,数学比语文多得8分,张明这两门功课的成绩各是多少分?解: 95 乘以 2,就是数学与语文两门得分之和,又知道数学与语文得分之差是8.因此数学得分 =(9528) 299. 语文得分 =(952-8) 2 91. 答:张明数学得99 分,语文得91 分. 注:也可以从952-9991 求出语文得分 . 例 2 有 A,B,C 三个数, A 加 B 等于252,B 加C 等于197, C 加 A 等于149,求这三个数 . 解: 从 B+C 197 与 A+C 149,就知道B 与 A 的差是 197-149,题目又告诉我们,B与 A 之和是 252.因此B=(252 197-149)2 150,A252-150 102,C149-102 47. 答: A, B,C 三数分别是102,150,47. 注:还有一种更简单的方法(A+B)( BC)( C A) 2( ABC). 上面式子说明,三数相加再除以2,就是三数之和. A B C( 252197149) 2299.因此C299-252 47,B299-149150,A299-197 102. 例 3 甲、乙两筐共装苹果75 千克,从甲筐取出5 千克苹果放入乙筐里,甲筐苹果还比乙筐多 7 千克 .甲、乙两筐原各有苹果多少千克?解: 画一张简单的示意图,就可以看出,原来甲筐苹果比乙筐多575 17(千克)因此,甲、乙两数之和是75,差为 17. 甲筐苹果数 =(7517) 2 46(千克) . 第二讲和、差、倍数应用题72 乙筐苹果数 =75-4629(千克) . 答:原来甲筐有苹果46 千克,乙筐有苹果29 千克 . 例 4 张强用 270 元买了一件外衣,一顶帽子和一双鞋子.外衣比鞋贵140 元,买外衣和鞋比帽子多花210 元,张强买这双鞋花多少钱?解: 我们先把外衣和鞋看成一件东西,它与帽子的价格和是270 元,差是210 元. 外衣和鞋价之和=(270210) 2 240(元) . 外衣价与鞋价之差是140,因此鞋价 =(240-140) 2 50(元) . 答:买这双鞋花50 元 . 再举出三个较复杂的例子.如果你也能像下面的解答那样计算,那么就可以说,“和差问题”的解法,你已能灵活运用了. 例 5 李叔叔要在下午3 点钟上班,他估计快到上班时间了,到屋里看钟,可是钟早在12 点 10 分就停了 .他开足发条却忘了拨指针,匆匆离家,到工厂一看钟,离上班时间还有10 分钟 .夜里 11 点下班,李叔叔马上离厂回到家里,一看钟才9 点整 .假定李叔叔上班和下班在路上用的时间相同,那么他家的钟停了多少时间(上发条所用时间忽略不计)?解: 到厂时看钟是2 点 50 分,离家看钟是12 点 10 分,相差 2 小时 40 分,这是停钟的时间和路上走的时间加在一起产生的.就有钟停的时间 +路上用的时间=160(分钟) . 晚上下班时,厂里钟是11 点,到家看钟是9 点,相差 2 小时 .这是由于钟停的时间中,有一部分时间,被回家路上所用时间抵消了. 因此钟停的时间 -路上用的时间 =120(分钟) . 现在已把问题转化成标准的和差问题了. 钟停的时间 =(160120)2 140(分钟) . 路上用的时间=160-14020(分钟) . 答:李叔叔的钟停了2 小时 20 分. 还有一种解法,可以很快算出李叔叔路上所用时间:以李叔叔家的钟计算,他在12 点 10 分出门,晚上9 点到家,在外共8 小时 50 分钟,其中 8 小时上班, 10 分钟等待上班,剩下的时间就是他上班来回共用的时间,所以上班路上所用时间=( 8 小时 50 分钟-8 小时 -10 分钟) 220(分钟) . 钟停时间 =2 小时40 分钟 -20 分钟=2 小时 20 分钟 . 例 6 小明用 21.4 元去买两种贺卡,甲卡每张1.5 元,乙卡每张0.7 元,钱恰好用完.可是售货员把甲卡张数算作乙卡张数,把乙卡张数算作甲卡张数,要找还小明3.2 元.问小明买甲、乙卡各几张?解: 甲卡与乙卡每张相差1.5-0.7 0. 8(元),售货员错找还小明3.2 元,就知小明买的甲卡比乙卡多3.20.84(张) . 现在已有两种卡张数之差,只要求出两种卡张数之和问题就解决了.如何求呢?请注意1.5甲卡张数 +0.7乙卡张数 =21.4. 1.5乙卡张数 +0.7甲卡张数 =21.4-3.2. 从上面两个算式可以看出,两种卡张数之和是21.4( 21.4-3.2)( 1.5 0.7)18(张) . 因此,甲卡张数是(18 4)2 11(张) . 第二讲和、差、倍数应用题73 乙卡张数是18-11 7(张) . 答:小明买甲卡11 张、乙卡7 张. 注:此题还可用鸡兔同笼方法做,请见下一讲. 例 7 有两个一样大小的长方形,拼合成两种大长方形,如右图.大长方形( A)的周长是 240 厘米,大长形(B)的周长是258 厘米,求原长方形的长与宽各为多少厘米?解: 大长方形( A)的周长是原长方形的长 2+宽 4. 大长方形( B)的周长是原长方形的长 4+宽 2. 因此, 240+258 是原长方形的长 6+宽 6. 原长方形的长与宽之和是(240258) 683(厘米) . 原长方形的长与宽之差是(258-240) 2 9(厘米) . 因此,原长方形的长与宽是长:( 839) 2 46(厘米) . 宽:( 83-9) 237(厘米) . 答:原长方形的长是46 厘米、宽是37 厘米 二、倍数问题 当知道了两个数的和或者差,又知道这两个数之间的倍数关系,就能立即求出这两个数.小学算术中常见的“年龄问题”是这类问题的典型.先看几个基础性的例子. 例 8 有两堆棋子,第一堆有87 个,第二堆有69 个.那么从第一堆拿多少个棋子到第二堆,就能使第二堆棋子数是第一堆的3 倍. 解:两堆棋子共有8769156(个) . 为了使第二堆棋子数是第一堆的3 倍,就要把156 个棋子分成1 34(份),即每份有棋子156 ( 13) 39(个) . 第一堆应留下棋子39 个,其余棋子都应拿到第二堆去.因此从第一堆拿到第二堆的棋子数是87-3948(个) . 答:应从第一堆拿48 个棋子到第二堆去. 例 9 有两层书架,共有书173 本.从第一层拿走38 本书后,第二层的书比第一层的2倍还多 6 本.问第二层有多少本书?解:我们画出下列示意图:我们把第一层(拿走38 本后)余下的书算作1“份”,那么第二层的书是2 份还多6第二讲和、差、倍数应用题74 本.再去掉这6 本,即173-38-6129(本)恰好是 3 份,每一份是1293=43(本) . 因此,第二层的书共有432 + 692(本) . 答:书架的第二层有92 本书 . 说明:我们先设立“1 份”,使计算有了很方便的计算单位.这是解应用题常用的方法,特别对倍数问题极为有效.把份数表示在示意图上,更是一目了然. 例 10 某小学有学生975 人.全校男生人数是六年级学生人数的4 倍少 23 人,全校女生人数是六年级学生人数的3 倍多 11 人.问全校有男、女生各多少人?解:设六年级学生人数是“1 份” . 男生是 4 份-23 人. 女生是 3 份+11 人 . 全校是 7 份-(23-11)人 . 每份是( 975+12) 7141(人) . 男生人数 =1414-23541(人) . 女生人数 =975-541 434(人) . 答:有男生541 人、女生434 人. 例 9 与例 10 是一个类型的问题,但稍有差别.请读者想一想,“差别”在哪里?70 双皮鞋 .此时皮鞋数恰好是旅游鞋数的2 倍.问原来两种鞋各有几双?解:为了计算方便,把原来旅游鞋算作4 份,售出1 份,还有3 份.那么原有皮鞋增加70 双后将是32=6(份) .40070 将是3+1610(份) .每份是(40070) 1047(双) . 原有旅游鞋474=188(双) . 原有皮鞋476-70212 (双) . 答:原有旅游鞋188 双,皮鞋212 双. 设整数的份数,使计算简单方便.小学算术中小数、分数尽可能整数化,使思考、计算都较简捷 .因此,“尽可能整数化”将会贯穿在以后的章节中. 下面例子将是本节的主要内容年龄问题. 年龄问题是小学算术中常见的一类问题,这类题目中常常有“倍数”这一条件.解年龄问题最关键的一点是:两个人的年龄差总保持不变. 例 12 父亲现年50 岁,女儿现年14 岁.问几年前,父亲的年龄是女儿年龄的5 倍?解:父女相差36 岁,这个差是不变的.几年前还是相差36 岁.当父亲的年龄恰好是女儿年龄的 5 倍时,父亲仍比女儿大36 岁.这 36 岁是女儿年龄的(5-1)倍 . 36( 5-1) 9. 当时女儿是9 岁, 14-95,也就是5 年前 . 答: 5 年前,父亲年龄是女儿年龄的5 倍. 例 13 有大、小两个水池, 大水池里已有水300 立方米 .小水池里已有水70 立方米 .现在往两个水池里注入同样多的水后,大水池水量是小水池水量的3 倍.问每个水池注入了多少立方米的水 . 解:画出下面示意图: 第二讲和、差、倍数应用题 7 5 我们把小水池注入水后的水量算作1 份,大水池注入水后的水量就是3 份.从图上可以看出,因为注入两个水池的水量相等,所以大水池比小水池多的水量(300-70)是 2 份. 因此每份是(300-70) 2115(立方米) . 要注入的水量是115-70=45 (立方米)答:每个水池要注入45 立方米的水 . 例 13 与年龄问题是完全一样的问题.“注入水”相当于年龄问题中的“几年后”. 例 14 今年哥俩的岁数加起来是55 岁.曾经有一年, 哥哥的岁数与今年弟弟的岁数相同,那时哥哥的岁数恰好是弟弟岁数的两倍.哥哥今年几岁?解:当哥哥的岁数恰好是弟弟岁数的2 倍时, 我们设那时弟弟的岁数是1 份,哥哥的岁数是 2 份,那么哥哥与弟弟的岁数之差是1 份.两人的岁数之差是不会变的,今年他们的年龄仍相差1 份. 题目又告诉我们,那时哥哥岁数,与今年弟弟的岁数相同,因此今年弟弟的岁数也是2份,而哥哥今年的岁数应是213(份) . 今年,哥弟俩年龄之和是32=5(份) . 每份是555 11(岁) . 哥哥今年的岁数是11333(岁) . 答:哥哥今年33 岁. 作为本节最后一个例子,我们将年龄问题进行一点变化.

例 15 父年 38 岁,母年36 岁,儿子年龄为11 岁. 问多少年后,父母年龄之和是儿子年龄的4 倍?解:现在父母年龄之和是3836 74. 现在儿子年龄的4 倍是11444.相差74-4430. 从 4 倍来考虑,以后每年长1 44,而父母年龄之和每年长112. 为追上相差的30,要30( 4-2) 15(年)答: 15 年后,父母年龄之和是儿子年龄的4 倍. 请读者用例15 的解题思路,解习题二的第7 题.也许就能完全掌握这一解题技巧了. 请读者想一想,例15 的解法,与例12 的解法,是否不一样?各有什么特点?我们也可以用例15 解法来解例12.具体做法有下面算式:(14 5-50)( 5-1)5(年) . 不过要注意145 比 50 多,因此是5 年前. 三、盈不足问题

在我国古代的算书中,九章算术是内容最丰富多彩的一本.在它的第七章,讲了一类盈不足问题,其中第一题,用现代的语言来叙述,就是下面的例题. 例 16 有一些人共同买一些东西,每人出 8 元,就多了 3 元;每人出 7 元,就少了 4 元。那么有多少人?物价是多少?第二讲和、差、倍数应用题76 解:“多3 元”与“少4 元”两者相差347(元) . 每个人要多出8-71(元) . 因此就知道,共有71 7(人),物价是87-353(元) . 答:共有7 个人一起买,物价是53 元. 上面的 34 可以说是两个总数的相差数.而 8-7 是每份的相差数.计算公式是总数相差数每份相差数=份数这样的问题在内容上有很多变化,形成了一类问题,我们通称为“盈不足”问题.请再看一些例子 . 例 17 把一袋糖分给小朋友们,每人分10 粒,正好分完;如果每人分16 粒,就有 3 个小朋友分不到糖.这袋糖有多少粒?解一: 3 位小朋友本来每人可以分到10 粒,他们共有的10 3 30(粒),分给其余小朋友,每人就可以增加16-10=6(粒),因此其余小朋友有103( 16-10)5(人) . 再加上这3 位小朋友,共有小朋友5 3 8(人) .这袋糖有10( 5 3) 80(粒) . 解二:如果我们再增加163 粒糖,每人都可以增加(1-10)粒,因此共有小朋友163( 16-10) =8(人)这袋糖有80 粒. 答:这袋糖有80 粒. 这里,163 是总差,( 16-10)是每份差,8 是份数 . 例 18 有一个班的同学去划船,他们算了一下,如果增加一条船,每条船正好坐6 人;如果减少一条船,每条船正好坐9 人.这个班共有多少名同学?解:如果每条船坐6 人,就要增加一条船,也就是现在有6 个人无船坐;如果每条船坐9 人,可以减少一条船,也就是还可以多来9 个人坐船 .可以坐船的人数,两者相差6 9 15(人) . 这是由于每条船多坐(9-6)人产生的,因此共有船(6 9) (9-6)5(条)这个班的同学有65 6 36(人) . 答:这个班有36 人. 例 19 小明从家去学校,如果每分钟走80 米,能在上课前6 分钟到校,如果每分钟走50 米,就要迟到3 分钟,那么小明的家到学校的路程有多远?解一: 以小明从家出发到上课这一段时间来算,两种不同速度所走的距离,与小明家到学校的距离进行比较:如果每分钟走80 米,就可以多走806(米);如果每分钟走50米,就要少走503(米) .请看如下示意图:因此我们可以求出,小明从家出发到上课这段时间是(806 503) ( 80- 50)21(分钟) . 家至学校距离是第二讲和、差、倍数应用题77 800( 21-6)1200(米)或 50 ( 21+3)1200(米) . 答:小明家到学校的路程是1200 米. 解二:以每分钟80 米走完家到学校这段路程所需时间,作为思考的出发点. 用每分钟50 米速度,就要多用63= 9(分种) .这 9 分钟所走的50 9(米),恰好补上前面少走的.因此每分钟80 米所需时间是50( 63)( 80- 50)15(分钟)再看两个稍复杂的例子. 例 20 一些桔子分给若干个人,每人5 个还多余10 个桔子 .如果人数增加到3 倍还少 5个人,那么每人分2 个桔子还缺少8 个,问有桔子多少个?解:使人感到困难的是条件“3 倍还少 5 人”.先要转化这一条件. 假设还有10 个桔子,10 25,就可以多有5 个人,把“少5 人”这一条件暂时搁置一边,只考虑3 倍人数,也相当于按原人数每人给23=6(个) . 每人给 5 个与给 6 个,总数相差1010 8 28 (个) . 所以原有人数28( 6-5)=28(人) . 桔子总数是5 28 10 150(个) . 答:有桔子150 个. 例 21 有一些苹果和梨.如果按每 1 个苹果 2 个梨分堆, 梨分完时还剩5 个苹果, 如果按每 3 个苹果 5 个梨分堆,苹果分完了还剩5 个梨 .问苹果和梨各多少?解一:我们设想再有10 个梨,与剩下5 个苹果一起,按“1 个苹果、 2 个梨”前一种分堆,都分完 .以后一种“ 3 个苹果、 5 个梨”分堆来看,苹果总数能被3 整除.因此可以把前一种分堆,每 3 堆并成一大堆,每堆有3 个苹果, 23 6(个)梨 .与后一种分堆比较:每堆苹果都是3 个.而梨多 1 个( 6-51).梨的总数相差设想增加10 个+剩下 5 个=15 个. (10 5)( 6- 5)15. 就知有 15 个大堆,苹果总数是153 45(个) . 梨的总数是(455) 280(个) . 答:有苹果45 个、梨 80 个. 解二:用图解法. 前一种分堆,在图上用梨2 份,苹果 1 份多 5 个来表示 . 后一种分堆,只要添上3 个苹果,就可与剩的5 个梨又组成一堆.梨算作 5 份,苹果恰好是 3 份. 将上、 下两图对照比较,就可看出,5 3 8 (个) 是下图中 “半份” ,即 1 份是16.梨是5 份,共有16 5 80(个) .苹果有162.5 5 45(个) .

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