巧用旋转解题
【例题讲解】
一、当条件中出现“邻边相等+对角互补十半角”
二、当条件中出现“邻边相等+半角”
【解题思路】
分析题意可知∠BAP+∠CAQ=30°，充分利用这一点是解答本题的关键.思路一:可以将△BAP绕点A逆时针旋转60°，使AB与AC重合，设点P的对应点为P"，过点P"作BC的垂线，利用特殊角和勾股定理，求出线段P"Q的长；然后证明△QAP"≌△QAP，得到线段PQ的长，进一步得到线段AB的长.思路二:可以将△BAP沿直线AP翻折得△B"AP，连接B"Q，证明△B"AQ≌△CAQ，从而发现△B"PQ中，∠PB"Q=120°，PB"=2，QB"=3，可求线段PQ的长，进一步得到线段AB的长.
【点评】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键.
三、当条件中出现“邻边相等+对角互补”
四、仅有“邻边相等”
【巩固练习】
【解析】
如图，将△APC绕点A顺时针旋转60°得到△ABE，连接PE，只要证明PA、PB、PC为边组成的三角形就是△PEB，再求出其内角即可.
【点评】
本题考查等边三角形的性质、旋转的性质，利用旋转添加辅助线是解决问题的关键，属于中考常考题型.
【解析】
根据旋转性质可得∠APB=∠CP"B=135°、∠ABP=∠CBP"、BP=BP"、AP=CP"，由∠ABP+∠PBC=90°知△BPP"是等腰直角三角形，进而根据∠CP"B=135°可得∠PP"C=90°，设BP=BP"=a、AP=CP"=b，在RT△PP"C中根据勾股定理可得CP"=v(9-2a2)，最后由BP的长a为整数可得AP.
【点评】
本题主要考查旋转的性质、等腰直角三角形、勾股定理等知识点，熟练运用这些性质、定理得出a、b间的关系式是关键.
【点评】
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形、学会利用分割法解决问题，属于中考填空题中的压轴题.
【解析】
首先过点D作DF⊥CA，垂足F在CA的延长线上，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB，由AB为O的直径，∠ACB的平分线交O于点D，可证得Rt△AFD≌Rt△BGD(HL)，Rt△CDF≌Rt△CDG(HL)，则可得AC+BC=CF-AF+AG+BG=CF+CG=2CF，△CDF是等腰直角三角形，继而求得答案.
【点评】
此题考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形性质.能准确作出辅助线，借助于方程求解是解此题的关键.
【点评】
本题主要考查圆周角定理，全等三角形的判定及勾股定理，难度适中.
