半角模型
已知如图：①2∠2=∠AOB；②OA=OB.
连接FB，将△FOB绕点O旋转至△FOA的位置，连接F′E，FE，
可得△OEF≌△OEF′
模型分析
∵△OBF≌△OAF′，
∴∠3=∠4，OF=OF′.
∴∠2=∠AOB，
∴∠1+∠3=∠2
∴∠1+∠4=∠2
又∵OE是公共边，
∴△OEF≌△OEF′.
（1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点；
（2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系；
（3）常见的半角模型是90°含45°，120°含60°.
模型实例
例1已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，它的两边分别交线段CB、DC于点M、N．
（1）求证：BM+DN=MN．
（2）作AH⊥MN于点H，求证：AH=AB．
证明：（1）延长ND到E，使DE=BM，
∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB．
在△ADE和△ABM中，
∴△ADE≌△ABM．
∴AE=AM，∠DAE=∠BAM
∵∠MAN=45°，∴∠BAM+∠NAD=45°．
∴∠MAN=∠EAN=45°．
在△AMN和△AEN中，
∴△AMN≌△AEN．
∴MN=EN．
∴BM+DN=DE+DN=EN=MN．
（2）由（1）知，△AMN≌△AEN．
∴S△AMN=S△AEN．
即．
又∵MN=EN，
∴AH=AD．
即AH=AB．
例2 在等边△ABC的两边AB、AC上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC．探究：当M、N分别在线段AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系．
（1）如图①，当DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是_______________；
（2）如图②，当DM≠DN时，猜想（1）问的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明．
图①图②
解答
（1）BM、NC、MN之间的数量关系是BM+NC=MN．
（2）猜想：BM+NC=MN．
证明：如图③，延长AC至E，使CE=BM，连接DE．
∵BD=CD，且∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°．
又∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°．
∴∠MBD=∠NCD=90°．
在△MBD与△ECD中，
∵DB=DC，∠DBM=∠DCE=90°，BM=CE，
∴△MBD≌△ECD（SAS）．
∴DM=DE，∠BDM=∠CDE．
∴∠EDN=∠BDC-∠MDN=60°．
在△MDN和△EDN中，
∵MD=ED，∠MDN=∠EDN=60°，DN=DN，
∴△MDN≌△EDN（SAS）．
∴MN=NE=NC+CE=NC+BM．
图③
例3 如图，在四边形ABCD中，∠B+∠ADC=180°，AB=AD，E、F分别是BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD．求证：EF=BE-FD．
证明：在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，
∴∠B=∠ADF．
在△ABG和△ADF中，
∴△ABG ≌△ADF（SAS）．
∴∠BAG=∠DAF，AG=AF．
∴∠GAF=∠BAD．
∴∠EAF=∠BAD=∠GAF．
∴∠GAE=∠EAF．
在△AEG和△AEF中，
∴△AEG ≌△AEF（SAS）．
∴EG=EF．
∵EG=BE-BG，
∴EF=BE-FD．
跟踪练习：
1．已知，正方形ABCD，M在CB延长线上，N在DC延长线上，∠MAN=45°．
求证：MN=DN-BM．
【答案】
证明：如图，在DN上截取DE=MB，连接AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠ABC=90°．
在△ABM和△ADE中，
∴△ABM≌△ADE．
∴AM=AE， ∠MAB=∠EAD ．
∵∠MAN=45°=∠MAB+∠BAN，
∴∠DAE+∠BAN=45°．
∴∠EAN=90°-45°=45°=∠MAN．
在△AMN和△AEN中，
∴△ABM≌△ADE．
∴MN=EN．
∵DN-DE=EN．
∴DN-BM=MN．
2．已知，如图①在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E分别为线段BC上两动
点，若∠DAE=45°，探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．
小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D使问题得到解
决．请你参考小明的思路探究并解决以下问题：
（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间的数量关系式，并对你的猜想给予证明；
（2）当动点E在线段BC上，动点D运动到线段CB延长线上时，如图②，其他条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．
【答案】
解答：（1）猜想：DE2=BD2+EC2．
证明：将△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′，如图①
∴△ACE≌△ABE′．
∴BE′=EC，AE′=AE，∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB．
在Rt△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°．
∴∠ABC+∠ABE′=90°，即∠E′BD=90°．
∴E′B2+BD2=E′D2．
又∵∠DAE=45°，
∴∠BAD+∠EAC=45°．
∴∠E′AB+∠BAD=45°，即∠E′AD=45°．
∴△AE′D≌△AED．
∴DE=DE′．
∴DE2=BD2+EC2．
（2）结论：关系式DE2=BD2+EC2仍然成立．
证明：作∠FAD=∠BAD，且截取AF=AB，连接DF，连接FE，如图②
∴△AFD≌△ABD．
∴FD=DB，∠AFD=∠ABD．
又∵AB=AC，
∴AF=AC．
∵∠FAE=∠FAD+∠DAE=∠FAD+45°，
∠EAC=∠BAC-∠BAE=90°-（∠DAE-∠DAB ）=90°-（45°-∠DAB）=45°+∠DAB，
∴∠FAE=∠CAE．
又∵AE=AE，
∴△AFE≌△ACE．
∴FE=EC，∠AFE=∠ACE=45°．
∠AFD=∠ABD=180°-∠ABC=135°．
∴∠DFE=∠AFD-∠AFE=135°-45°=90°．
在Rt△DFE中，DF2+FE2=DE2．
即DE2=BD2+EC2．
3．已知，在等边△ABC中，点O是边AC、BC的垂直平分线的交点，M、N分别在直线
AC、BC上，且∠MON=60°．
（1）如图①，当CM=CN时，M、N分别在边AC、BC上时，请写出AM、CN、MN三
者之间的数量关系；
（2）如图②，当CM≠CN时，M、N分别在边AC、BC上时，（1）中的结论是否仍然
成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图③，当点M在边AC上，点N在BC的延长线上时，请直接写出线段AM、CN、
MN三者之间的数量关系．
【答案】
结论：（1）AM=CN+MN；如图①
图①
（2）成立；
证明：如图②，在AC上截取AE=CN，连接OE、OA、OC．
∵O是边AC、BC垂直平分线的交点，且△ABC为等边三角形，
∴OA=OC，∠OAE=∠OCN=30°，∠AOC=120°．
又∵AE=CN，
∴△OAE≌△OCN．
∴OE=ON，∠AOE=∠CON．
∴∠EON=∠AOC=120°．
∵∠MON=60°，
∴∠MOE=∠MON=60°．
∴△MOE≌△MON．
∴ME=MN．
∴AM=AE+ME=CN+MN．
图②
（3）如图③，AM=MN-CN．
图③
4．如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，AB=AD，E、F分别是线段BC、CD上的
点，且BE+FD=EF．求证：∠EAF=∠BAD．
【答案】
证明：如图，把△ADF绕点A顺时针旋转∠DAB的度数得到△ABG，AD旋转到AB，AF旋转到AG，
∴AG=AF，BG=DF，∠ABG=∠D，∠BAG=∠DAF．
∵∠ABC+∠D=180°，
∴∠ABC+∠ABG=180°．
∴点G、B、C共线．
∵BE+FD=EF，
∴BE+BG=GE=EF．
在△AEG和△AEF中，
∴△AEG≌△AEF．
∴∠EAG=∠EAF．
∴∠EAB+∠BAG=∠EAF．
又∵∠BAG=∠DAF，
∴∠EAB+∠DAF=∠EAF．
∴∠EAF=∠BAD．
5．如图①，已知四边形ABCD，∠EAF的两边分别与DC的延长线交于点F，与CB的延长线交于点E，连接EF．
（1）若四边形ABCD为正方形，当∠EAF＝45°时，EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？（只需直接写出结论）
（2）如图②，如果四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC与∠ADC互补，当∠EAF＝∠BAD时，EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？请写出结论并证明．
（3）在（2）中，若BC＝4，DC＝7，CF＝2，求△CEF的周长（直接写出结论）
解答：
（1）EF=DF-BE
（2）EF=DF-BE
证明：如图，在DF上截取DM=BE，连接AM，
∵∠D+∠ABC=∠ABE+∠ABC=180°
∵D=ABE
∵AD=AB
在△ADM和△ABE中，
∴△ADM≌△ABE
∴AM=AE，∠DAM=∠BAE
∵∠EAF=∠BAE+∠BAF=∠BAD，
∴∠DAM+∠BAF=∠BAD
∴∠MAF=∠BAD
∴∠EAF=∠MAF
在△EAF和△MAF中
∴△EAF≌△MAF
∴EF=MF
∵MF=DF-DM=DF-BE，
∴EF=DF-BE
（3）∵EF=DF-BE
∴△CEF的周长=CE+EF+FC=BC+BE+DC+CF-BE+CF
=BC+CD+2CF=15
