这是上海中考数学的一道压轴题。与圆内接正多边形有关，题型还是比较少见的。题目是这样的：
已知⊙O的直径AB=2，弦AC与弦BD交于点E，且OD⊥AC，垂足为点F.
(1)如图1, 如果AC=BD，求弦AC的长；
(2)如图2，如果E为弦BD的中点，求∠ABD的余切值；
(3)联结BC, CD, DA，如果BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正(n+4)边形的一边，求△ACD的面积.
很多时候，就算是中考的压轴题第一小题也是送分题，但这道题从第一小题开始，就没有那么容易，至少不算是送分题吧。【】内为注释：
解：(1)连接BC，CD，则BC⊥AC，【因为角ACB是直径AB所对的圆周角，所以是直角】
又OD⊥AC，∴BC//OD.【平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行】
∵AC=BD，∴弧AC=弧BD，【等弦对等劣弧】
∴弧AD=弧BC，【上面两弧同时减去弧CD得到的】
∴∠ABD=∠BAC=∠BDC，【前面是等弧对等角，后面是同弧BC对等角】
∴CD//AB，【内错角相等，两直线平行】
∴BC=OD=AB/2=1，【BC=OD，是因为平行线间的平行线段相等】
在Rt△ABC中，AC=根号(AB^2-BC^2)=根号3.
(2)连接AD，OE，则
这次我们需要连接AD和OE，那么AD//OE, 且AD=2OE，【三角形中位线定理】
三角形AFD相似于三角形EFO，∴OF/DF=OE/AD=1/2，∴DF=2OF，
又OF+DF=OD=AB/2=1, ∴DF=2/3，OF=1/3,
在Rt△AOF中，AF^2=OA^2-OF^2=8/9,
在Rt△ADF中，AD=根号(AF^2+DF^2) =2倍根号3/3,
在Rt△ABD中，BD=根号(AB^2-AD^2)=2倍根号6/3.
【连用三次勾股定理，见证了勾股定理的强大了吗？】
∴cot∠ABD=BD/AD=根号2.
(3)如图：∵OD⊥AC，∴CD=AD,【垂径定理】
∴∠ADO=∠DAO=90度-180度/(n+4), 【利用正n+4边形的内角公式，以及“中心与顶点的连线平分顶角”的定理】
在Rt△ADF中，∠DAF=90度-∠ADO=180度/(n+4),【直角三角形两个锐角互余的定理】
∵∠ACB=90度, ∴BC//OD,
∴∠AOD=∠ABC=90度-180度/n. 【两直线平行，同位角相等】
在Rt△AOF中，∠OAF=90度-∠AOD=180度/n,
由∠OAF+∠DAF=∠DAO, 有
180度/n+180度/(n+4)=90度-180度/(n+4),
解得：n=4.【舍去不合理的解n=-2】
AC=BC=AB/根号2=根号2,
OF=BC/2=根号2/2,
DF=OD-OF=1-根号2/2,
S△ACD=DF·AC/2=(根号2-1)/2.
怎么样？你自己做出来了吗？
