本文内容选自2021年连云港中考数学压轴题。题目考查动点轨迹问题，为大家常说的瓜豆模型。题目比较常规，值得研究。
【中考真题】
（2021·连云港）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．
（1）是边长为3的等边三角形，是边上的一点，且，小亮以为边作等边三角形，如图1．求的长；
（2）是边长为3的等边三角形，是边上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，如图2．在点从点到点的运动过程中，求点所经过的路径长；
（3）是边长为3的等边三角形，是高上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，如图3．在点从点到点的运动过程中，求点所经过的路径长；
（4）正方形的边长为3，是边上的一个动点，在点从点到点的运动过程中，小亮以为顶点作正方形，其中点、都在直线上，如图4．当点到达点时，点、、与点重合．则点所经过的路径长为 ，点所经过的路径长为 ．
【分析】
（1）根据SAS即可得到结论。
（2）有了（1）中的结论，那么本题就可以考虑用上面的方法证明全等，然后根据对应边相等求出路径长。
（3）还是与前面的类似，找到全等即可，可以先确定起点与重点，容易找到对应的三角形全等。
（4）根据图形，连接CH，可以发现△ABF≌△CBH，那么就可以得到CH与AF相等的。因为点F、G都在AE上，说明∠AFB=90°始终不变，那么点F的轨迹为以AB为直径的圆弧，同样可以得到点H的轨迹为BC为直径的圆弧。
易得AG⊥CH，AH⊥GH，那么可以得到C、G、H三点共线，那么∠AGC=90°，点G的轨迹为AC为直径的圆弧。那么确定起点与终点即可得到结论。【答案】解：（1）如图，和是等边三角形，，，，，，，；
（2）如图2，连接，
由（1），，，，，，又点在点处时，，点在处时，点与点重合．点运动的路径长．
（3）如图3，取的中点，连接，
，，，，，和是等边三角形，，，，，，，，，又点在处时，，点在处时，点与点重合．点所经过的路径的长；
（4）如图，连接，，相交于点，取的中点，的中点，连接，，
，点的运动轨迹为以点为圆心，长为半径的圆上；，，即，，，点在以点为圆心，长为半径的圆上；当点在处时，点，，重合，点和点重合；当点在点处时，点和点重合，点与点重合；
连接，，
由上证明可得，，，点，，三点共线，，点是的中点，是斜边中线，点在以点为圆心，长为半径的圆上；点所经过的路径长；
点所经过的路径长．
故答案为：，．