黄金分割
黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中ACAB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果，那么点C叫做线段AB的黄金分割点．若点P是线段MN的黄金分割点，当MN＝1时，PM的长是 ．
【分析】分PM＞PN和PM＜PN两种情况，根据黄金比值计算．
【解析】当PM＞PN时，PMMN，
当PM＜PN时，PM＝MNMN，故答案为：或．
【小结】本题考查的是黄金分割，掌握黄金比值是是解题的关键．
如果点C是线段AB的黄金分割点，那么下列线段比的值不可能是的为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比作出判断．
【解析】∵点C是线段AB的黄金分割点，∴AC2＝AB•BC（AC＞BC），
则；或BC2＝AB•AC（AC＜BC），
则．故只有的值不可能是．选D．
【小结】此题主要考查了黄金分割比的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．
如图，已知点E是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，若S1表示AE为边长的正方形面积，S2表示以BC为长，BE为宽的矩形面积，S3表示正方形ABCD除去S1和S2剩余的面积，则S3：S2的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据黄金分割的定义：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中ACAB，进行计算即可．
【解析】如图，设AB＝1，
∵点E是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，
∴AE＝GF，∴BE＝FH＝AB﹣AE，
∴S3：S2＝（GF•FH）：（BC•BE）＝（）：（1）．选A．
【小结】本题考查了黄金分割、矩形的性质、正方形的性质，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．
古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的中末比问题：点G将一线段MN分为两线段MG，GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即满足，后人把这个数称为黄金分割数，把点G称为线段MN的黄金分割点．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若D，E是边BC的两个黄金分割点，则△ADE的面积为（ ）
A．10﹣4 B．35 C． D．20﹣8
【分析】作AH⊥BC于H，如图，根据等腰三角形的性质得到BH＝CHBC＝2，则根据勾股定理可计算出AH，接着根据线段的黄金分割点的定义得到BEBC＝22，则计算出HE＝24，然后根据三角形面积公式计算．
【解析】作AH⊥BC于H，如图，
∵AB＝AC，∴BH＝CHBC＝2，
在Rt△ABH中，AH，
∵D，E是边BC的两个黄金分割点，∴BEBC＝2（1）＝22，
∴HE＝BE﹣BH＝22﹣2＝24，∴DE＝2HE＝48
∴S△ADE（48）10﹣4．选A．
【小结】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中ACAB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．也考查了等腰三角形的性质．
