《御製數理精蘊》之任意三角形內接正方形算法
上傳書齋名：瀟湘館112 Xiāo Xiāng Guǎn 112
何世強 Ho Sai Keung
提要：本文主要介紹《數理精蘊》之任意三角形內接正方形邊之算法及導出其一般性公式，而此算法須算出三角形之中垂線。
關鍵詞：中垂線、大腰、小腰、內容正方邊
《御製數理精蘊》﹝簡稱為《數理精蘊》﹞乃清代有系統之數學課程編排，學之者若能依序而學，能收事半功倍之效。
《數理精蘊》有求任意三角形“中垂線”之問，筆者有文〈《御製數理精蘊》之任意三角形之中垂線公式﹝插圖修正稿﹞〉詳細說明任意三角形“中垂線”之算法 。
筆者認為《數理精蘊》之中垂線公式與南宋秦九韶之“三斜求積”之法公式相若，故此中垂線公式可能比宋秦九韶之“三斜求積”公式更早，因為中垂線之長乘以底之長再除以 2 方可得三角形之面積。
本文主要介紹《數理精蘊》之任意三角形內接正方形邊之算法及導出其一般性公式，而此算法須算出三角形之中垂線。至於一任意三角形之中垂線算法公式可參閱筆者另文﹝見前﹞。
本文資料取材自《數理精藴‧下編‧卷十四‧面部四‧三角形》。
第 1 節 《數理精蘊》之內容正方邊計算公式
設如有鋭角三角形，大腰三十七尺，小腰十五尺，底四十四尺，求：內容正方邊幾何？
解：
鋭角三角形指三角形之三角皆為鋭角。本題之要點為先算出三角形之中垂線，再以相似三角形法求出內容正方邊。
以下為ΔABC 及其內容正方形 EFGH，AD 為高﹝即中垂線﹞，又設正方形 EFGH 之邊長為 x 尺。
《數理精蘊》曰：
如圖：甲乙丙三角形，甲乙為大腰，甲丙為小腰，乙丙為底，甲丁為所得中垂線，戊己庚辛為今所求內容正方形。
三角形內容方圖
先依公式求中垂線 AD：
依公式 AD = ﹝証明見筆者另文﹞。
若 d = 44， e = 15， f = 37，代入上式可得：
AD2= e 2 – ()2
= 152 – ()2
= 225 – ()2
= 225– ()2
= 225 – 92
= 225 – 81
=144。
AD = √144 = 12﹝尺﹞。
從上頁圖可知ΔABC 與 ΔAHE 相似，即可知 =，相似三角形對應邊成比例，即 = ，移項得：
d×AD – dx= ADx
d×AD = dx+ ADx
d×AD = x(d+ AD)
x = ，其中 AD = 。此即為三角形求內容正方邊之公式。
代入數字得：
x = = = 9.428571429﹝尺﹞。
《數理精蘊》之算法：
法：先用求中垂線法，求得中垂線十二尺﹝見上文﹞，
與底邊四十四尺相加，得五十六尺為一率，中垂線十二尺為二率，底邊四十四尺為三率，推得四率九尺四寸二分八釐五毫有餘，即三角形內所容正方之一邊也。
《數理精蘊》之四率法如下，先列出下表：
一率
二率
三率
四率
44 + 12 = 56
AD = 12
d = 44
x
正方之一邊之四率 x = = = = 9.4285﹝尺﹞。
《數理精蘊》之作圖証明法：
試依甲丁中垂線度將乙丙線引長，作乙癸線為五十六尺，又與甲丙線平行作壬癸線，又將甲乙線引長作壬乙線，則成與甲乙丙同式之壬乙癸三角形。
復與底線平行作甲子線與丙癸等，即與甲丁垂線等，又與甲丁平行作子丑線與甲丁等，則甲丁垂線所作甲丁丑子正方形，即為壬乙癸三角形內所容之正方形矣。
故壬乙癸三角形之乙癸底與甲丁方邊之比，即同於甲乙丙三角形之乙丙底與戊己方邊之比，故中垂線與底邊相加為一率，中垂線為二率，底邉為三率，推得四率為內容正方之一邊也。
上文文意為：延長BC 至 J，令 CJ = AD，延長 BA 至 L，作 JL 平行 AC，作 AM 平行 BC，MN 平行 AD，ADNM 是為大 ΔBJL之內接正方形，又可知 ΔBJL與 ΔABC 相似，所以= ﹝相似三角形對應邊成比例﹞。
即 = ， x = ﹝結果與上文相同﹞。
此証明法累贅，以筆者上頁之証明法較簡單，而且不須作輔助線圖。當然現代數學水準較高。
附錄：
若 ABC 是一直角三角形，直角為 A，以勾為 e，股為f，斜邊為 d，如下圖所示。其垂線之長為 ﹝見筆者另文〈《御製數理精蘊》之任意三角形之中垂線公式﹝插圖修正稿﹞〉，其內接正方形邊長亦有所化簡﹝正方形之一邊貼斜邊﹞。
以下為直角三角形 ABC：
則 ΔABC 內容正方邊長 x = ，而 AD = ；d = √(e2 + f2)。
x =
= 。
若 d = √(e2 + f2)，則 x = 。
第 2 節 三角形之內容正方作圖法
至於三角形之內容正方作圖法，可參看以下之〈三角形容方之方邊合底圖〉之比例作圖法。
其法可以以三角形底邊為邊，作一正方形 BCLM。連 AL 及 AM ，分別交CB 於 G 與 F 兩點。從 G 與 F 兩點作垂線 HG 及 EF 垂直 CB，並交小腰與大腰於 H 點及 E 點，連HE，則 HEFG即為所求之正方形，此即為比例作圖法。
三角形容方之方邊合底圖
若果不以三角形之底正方形，亦可隨意作一正方形，其一邊在三角形內但平行底邊，如PQRS。連 AS 及 AR 分別交 CB 於 G 與 F 兩點。從 G 與 F 兩點作垂線 HG 及 EF 垂直 CB，並交小腰與大腰於H 點及 E 點，HEFG即為所求之正方形，此亦為比例作圖法。
此作圖法見下圖。
第 4 頁之圖亦可用。先作出三角形 BLJ，並作出內接正方形 ADNM，連 BM ﹝BM 線不在圖中﹞交 AC 於 H，自 H 畫 HE 平行 BC，畫 HG、EF 垂直 BC，HEFG 即為所求之正方形。