上傳書齋名：瀟湘館112 Xiāo Xiāng Guǎn 112
何世強 Ho Sai Keung
提要：本文主要談及三角形面積，三角形之內切圓半徑之計算。《數理精蘊》証明三角形內切圓半徑之求法，其式之分子涉及海倫公式。但筆者有理由相信三角形內切圓半徑公式並非由西方傳入，此式甚至與海倫公式無涉。
關鍵詞：秦九韶、海倫公式、三斜面積公式、中垂線、內容圜
第 1 節 《數理精蘊》類似海倫公式Heron’s Formula之三角形內切圓半徑公式
《御製數理精蘊》﹝簡稱為《數理精蘊》﹞乃清代有系統之數學課程編排，學之者若能依序而學，能收事半功倍之效。
本文主要談及三角形面積及三角形之內切圓半徑之計算。《數理精蘊》証明三角形內切圓半徑 r = ，右方開方分數之分子涉及海倫公式Heron’s formula或Hero’s formula 之形，但筆者有理由相信三角形內切圓半徑公式並非由西方傳入，此式甚至與海倫公式無涉。
《數理精蘊》有求三角形之“中心至三邊之垂線”之長，此“中心至三邊之垂線”其實為三角形之內接圓半徑，其算法頗有海倫公式之形式，但並非算三角形之面積。
《數理精蘊》以幾何方法証明 (s – b)(s – a)(s– c) ÷ s = r2，而 r 乃三角形之內接圓半徑，亦即“中心至三邊之垂線”，見以下之詳細說明。
本文資料取材自《數理精藴‧下編‧卷十四‧面部四‧三角形》。
(1)
設如有鈍角三角形，大腰十七尺，小腰十尺，底二十一尺，求：面積幾何？
解：
若ΔABC 之 a = 21， b = 10， c = 17，其高為 AD﹝見下圖﹞，先算出AD。
而AD = ﹝証明見筆者另文﹞。
故ΔABC面積：× a
=。
以上即宋‧秦九韶之三斜面積公式。
以數目代入：
AD2= b2 – ()2
= 102 – ()2
= 100 – ()2
= 100– ()2
= 100 – 62
= 100 – 36
=64。
AD = √64 = 8。
所以ΔABC面積 = × a ×AD =× 21 × 8 =× 168 = 84﹝方尺﹞。
《數理精蘊》之算法曰：
法：用求中垂線法求得中垂線八尺，與底二十一尺相乘，得一百六十八尺，折半得八十四尺，為三角面積也。
算法見上文。
附帶一提，宋‧秦九韶撰《數書九章》，書中提及三斜面積公式，即已知三角形三邊之長﹝見上圖﹞而求其面積之公式。以下為其三斜面積公式：
，又其中之
=
=
= [c2 – (a– b)2][(a + b)2 – c2]
= ( c – a + b)(c + a– b)(a + b – c) (a + b + c)。
若 a + b + c = 2s，則
c – a + b = a + b+ c – 2a= 2s – 2a；
c + a – b = a + b+ c – 2b = 2s – 2b；
a + b – c = a + b+ c – 2c= 2s – 2c。
代入於是得：
(c – a + b)(c + a– b)(a + b – c) (a + b + c)
=(2s – 2a)(2s– 2b)(2s – 2c)2s
= 4s(s – a)(s – b)(s– c)。
於是：
ΔABC面積 =
=
=。
上式是為海倫公式Heron’s formula或Hero’s formula。海倫乃古希臘亞歷山大城之數學學者。
從上式可知秦九韶之三斜面積公式可轉換成海倫公式，但因兩式之運算法不同，故不能說秦九韶之三斜面積公式即海倫公式，只能說兩者之結果相同。
第 2 節 《數理精蘊》之內切圓徑之算法
若 ΔABC之AB = c，BC = a，CA = b，其內切圓圓心為 O，半徑為 r，三切點分別為D、E及F，即 OE = OD = OE = r。
從下圖可知：
ΔABC = ra + rb + rc = r(a + b+ c) = rs。
所以可知 ΔABC = = rs。
Δ2 = s(s – b)(s – a)(s– c) = r2s2。
第 1 節之題《數理精蘊》之另一種算法先求“中心至三邊之垂線”之長，此“中心至三邊之垂線”其實為三角形之內接圓半徑，再乘以三角形之半周長，即 rs。
其算法頗有海倫公式之形式，但並非直接以海倫公式算出三角形之面積。其細草曰：
又法：以甲乙邊十七尺、乙丙邊二十一尺、甲丙邊十尺，三數相加，得四十八尺為三邊之總，折半得二十四尺為半總。即 a + b + c = 2s，
(a + b + c) = s，s 為半總，即三邊和之半。
以甲乙邊十七尺與半總二十四尺相減，餘七尺，為甲乙邊與半總之較；即
(a+ b + c) – c = (a+ b – c) = s – c。
以乙丙邊二十一尺與半總二十四尺相減餘三尺為乙丙邊與半總之較；即
(a+ b + c) – a = (– a+ b + c) = s – a。
以甲丙邊十尺與半總二十四尺相減餘十四尺為甲丙邊與半總之較。即
(a+ b + c) – b = (a– b + c) = s – b。
乃以半總二十四尺為一率，甲丙邊與半總之較十四尺為二率，乙丙邊與半總之較三尺與甲乙邊與半總之較七尺相乘，得二十一尺為三率，求得四率十二尺二十五寸，開方得三尺五寸為三角形自中心至三邊之垂線。
《數理精蘊》之 r2 四率法如下：
一率
二率
三率
四率
s
(a – b + c) = 14
(– a + b + c)×(a + b – c)
r2
24
14
21
r2
四率 = r2 = = = 12.25﹝方尺﹞。
r = √12.25 = 3.5﹝尺﹞。
與三邊之總四十八尺相乘，得一百六十八尺，折半，得八十四尺，即三角形之面積。
即 48 × 3.5 ÷ 2 = 168 ÷ 2 = 84。
或以所得垂線三尺五寸與半總二十四尺相乘，亦得八十四尺為三角形之面積也
或 24 × 3.5 = 84。
四率換成代數式：
= (a – b + c) ×(– a + b+ c) ×(a + b– c) ÷ s
= (2s – 2b) ×(2s – 2a) ×(2s – 2c) ÷ s
= (s – b)(s – a)(s– c) ÷ s
=
=Δ2
=× r2s2
= r2。
以上末三步驟假設 Δ2= s(s – b)(s – a)(s – c) = r2s2成立，但此非實際情況。故必須以另法証明 (s – b)(s– a)(s – c) ÷ s = r2。
《數理精蘊》提出一精闢之幾何証明法，今仍以三角形內切圓圖為基礎，作圖如下：
延長 BC 至 G，令 CG = AD = AF，延長 BO 至 H，而 HG 垂直 BG，連HC，又作 HK 垂直 CA。
從圖可知GB = GC + CE + EB = s，EB = s – EG = s – b，CG = s – a，
CE =s – c。
又 OE = OD = OF = r。
G 與 K 皆直角，E 與 F 亦為直角，顯然四邊形 HKCG 與四邊形 FOEC 均為圓內接四邊形，角 FOE = 角 FCG，角 GHK = 角 FCE，所以四邊形 HKCG與四邊形 FOEC 相似，所以 = ，移項得 HG = 。
又三角形 OEB與三角形 HGB相似，所以 = = ，移項得：
OE = × HG = ×= ×
OE2 =(s – b)(s – a)(s – c) ÷ s =
即 r2 = 或
r = 。
証畢。
以上結果可知：
r2s2 = s(s– b)(s – a)(s – c) = Δ2
rs = =Δ。
答：鈍角三角形面積為 84 方尺。
(2)
設如有鋭角三角形大腰三百三十八尺，小腰三百尺，底四百一十八尺，求：內容圜徑幾何？
解：
設內容圜半徑為 r。
又若ΔABC 之 a = 418， b = 300， c = 338，其圖如下：
從上題可知 r2 = (s – b)(s – a)(s– c) ÷ s。代入數字：
s =× (418 + 300 + 338) = ×1056 = 528。
r2 = (s – b)(s – a)(s– c) ÷ s
= (528 – 300)(528 – 418)(528 – 338) ÷ 528
= 228 × 110 × 190 ÷ 528
= 4765200 ÷ 528
= 9025。
r = √9025 = 95。
故直徑為 2 × 95 = 190﹝尺﹞。
《數理精蘊》之算法：
法先用求中垂線法，求得中垂線二百四十尺。
《數理精蘊》仍用求高之法，先求 AH，
而 AH =
=
=
=
=
=
=
= 240﹝尺﹞。
與底四百一十八尺相乘得一十萬零三百二十尺，即 2 倍之三角形面積為 240 × 418 = 100320﹝方尺﹞。
以大腰三百三十八尺、小腰三百尺、底四百一十八尺，三數相加，得一千零五十六尺，即 418 + 300 + 338 = 1056﹝尺﹞。
除之得九十五尺，即內容圜半徑，即 100320 ÷ 1056 = 95﹝尺﹞。
倍之得一百九十尺即內容圜全徑也，即 2 × 95 = 190﹝尺﹞。
以下為圖解：
如圖：甲乙丙三角形內容戊圜形。試自圜之中心至甲、乙、丙三角各作戊甲、戊乙、戊丙三線，遂分甲乙丙三角形為甲戊乙、甲戊丙、乙戊丙三三角形。
其三邊皆為三角形之底，而戊己半徑皆為三角形之垂線，今乙丙底邊與甲丁中垂線相乘所得之長方積原比甲乙丙三角形積大一倍，即如將所分三三角形各用垂線乘底邊所得之三長方積合為一長方也，三長方之長雖不同，而濶則一，故各以長除積而得濶者，即如合三角形之三邊，除三角形之倍積而得半徑也。
三個長方形合併成三角形面積之 2倍，其長顯然為三角形之三邊，即
a + b + c= 2s，其闊為圓半徑 r。
圓半徑 r = 三角形面積之 2 倍 ÷ 2s﹝見上文﹞。
《數理精蘊》之代數式如下：
三角形面積之 2 倍 = a，2s= a + b + c，所以：
故內切圓半徑 r = a÷ (a + b + c)，唯以下式之表達為佳：
內切圓半徑 r = 。
《數理精蘊》已証明以上等式，但無採用 海倫公式計算三角形面積，雖然秦九韶之三斜面積公式可轉換成海倫公式，但兩式之運算法不同，不宜視之為一式，另一方面，《數理精蘊》以傳統方法計算三角形面積，即先算出其高，再乘其底，再除以 2，無直接採用秦九韶之三斜面積公式。
海倫公式以計算三角形面積為主，但《數理精蘊》以相類公式計算三角形內切圓半徑，因此 r = 式相信非西方傳入，可能由清初或以前之算學家所發現，與海倫公式無涉。無論如何《數理精蘊》中之問，水準甚高。
以下為《數理精蘊》原文：