冯跃峰
本讲介绍寻找条件的第二种方式。
（2）发掘条件中隐藏的某些对象的实际意义。
在寻找条件的最初阶段，对条件的了解和整理还只是表面上的，只有对条件深入理解，才能认识条件的本质，为利用条件创造“条件”。
理解是应用的前提，要想应用条件，首先就得读懂条件。要透过数字、符号、语言的表象，弄清题设条件到底告诉你一些什么信息。必要时，还可借助图表、模型等加深理解。只有真正了解了条件的含义，才能准确地应用。
我们先看两个简单的例子。
例1、设A={（x，y）|x+y=2，x∈R，y∈R}，
B={（s，t）|2s-t=1，s∈R，t∈R}，
求A∩B。
【分析与解】本题的目标是：A∩B=？
题给的条件是，给出了两个具体的集合。解题的关键，是理解这两个已知集合的实际意义。
有同学看到这样的条件，认为A是由（x，y）构成的集合，而B是由（s，t）构成的集合，所含的字母不同，错误地判断它们没有公共元素，得出错误答案：A∩B=Φ。
造成上述解题失误的原因，显然是对条件的理解不正确，它反映的是相关概念的模糊。出现这样的错误，并不在于思维能力的不足，而是相关知识存在漏洞。
我们知道，一个集合的确定，主要是看集合有什么类型的无素，而这些无素用什么字母表示则是无美紧要的。
比如，集合{x|x≥1}与集合{t|t≥1}就是同一个集合，它们都表示区间（1，+∞）内所有数组成的集合。
在这种理解下，本题中两个集合都是一些有序实数对的集合，求A∩B，就是把它们中公共的有序实数对找出来。这就只需知道两个集合中实数对的存在域。
容易发现，两个集合中实数对的存在域为两条直线，只需求出两直线的交点，即可求出A∩B。
于是，x+y=2，2x-y=1，联立解得x=y=1，故A∩B={（1，1）}。
例2、设A={x|x=|t|，t∈R}，
B={x|x=1-t²，t∈R}，
求A∩B。
【误解】有的解题者在解这道题时，由于没有理解条件的实际意义，就急于解题，造成解题失误。
他们认为，求 A∩B就是解方程组
x=|t|，
x=1-t²。
消去t，得x=1-x²，
解得x=。
得到错误答案：
A∩B={(，}。
造成上述错误的原因，就是把两个集合中的x、t理解为取相同的值。由于x、t在两个不同的集合里，它们均可独立取值，不受另一个集合中字母取值的影响。求A∩B，也只是要求A、B两个集合中x的取值相同，而两个集合里各自的哪些t使两个x的取值相同是不去考虑的。
如果令两集合中的x相等去建立方程，那么两个集合中的t要分别用不同的字母心t₁、t₂来区别，这样建立的方程组只能消去x，得到方程|t₁|=1-t₂²。
但按此思路去解，过程很繁。
实际上，只要正确理解了A、B的实际意义，本题其实是很简单的。
A、B都是一些实数组成的集合，如果把x=|t|理能为tox平面上的曲线，那么集合A就是该曲线上各点纵坐标的集合。
同样，集合B就是曲线x=1-t²上各点纵坐标的集合。
如果把x=|t|理解为函数，那么集合A就是函数x=|t|的值域，便知A={x|x≥0}；同样，集合B就是数x=1-t²的值域，便知，B={x|x≤1 }。
在这种理解下，显然有A∩B={x|0≤x≤1}。
我们再看两个稍复杂点的例子。
例3、设函数f（x）满足：
f（x+y）=f（x）+f（y），
且x>0时，f（x）<0。
求证：f（x）为减函数。
【分析与证明】先明确目标，我们要证明：
当x₁
分割目标，建立如下解题主线：
起点x₁
下面寻找条件，与目标相接近的题设条件是
：“x>0时，f（x）<0。”
这个条件的实际意义是，任何整数对应的函数值都为负数。为运用方便，可将它形象地表述为：对形如“?>0”的不等式的左边添加f，不等式反向。
比如，由1>0，得f（1）<0；
再比如，由>0，得f（）<0。
为了利用这一条件，需要将起点中的不等式变成形如“?>0”的形式，这需要发掘两者的差异。
它们有两种差异，一种差异是不等式方向不同，这只需在不等式x₁
另一种差异是，起点不等式右边不是0，这移项即可。这样一来，起点变为x₂-x₁>0。
现在可利用上述条件，得f（x₂-x₁）<0。
再发现差异，当前状态
“f（x₂-x₁）<0”中只有1个f，而目标
“f（x₁）>f（x₂）”中有2个f。
为消除差异，希望当前状态能增加一个f，自然想到f（x₂-x₁）能否分拆成两部分。
我们猜想：
f（x₂-x₁）= f（x₂）-f（x₁）（子目标）。
再寻找条件，与之接近的条件是
f（x+y）=f（x）+f（y）。
继续发现差异，子目标与上述条件存在结构差异：条件中函数之间用“+”号连接，而子目标中函数之间用“-”号连接。
这个差异很容易消除，通过移项改造子目标即可，得到
新的子目标：
f（x₂-x₁）+ f（x₁）=f（x₁）。
利用上述条件，这显然是成立的，解题获得成功。
具体解答如下：
【新写】设x₁
由题给条件，有f（x₂-x₁）<0。（*）
又由题给条件可知，
f（x₂-x₁）+ f（x₁）
= f（（x₂-x₁）+f（x₁））=f（x₁），
即 f（x₂-x₁）= f（x₂）-f（x₁），
所以（*）式变为f（x₂）-f（x₁）<0，
即f（x₁）>f（x₂），故f（x）为减函数，证毕。
例4、设f（x）=的图象关于
A（，）对称，
求实数a。
【分析与解】很明显，解题的关键，是理解条件：
“图象关于A（，）对称”
的实际意义。
这并不是说，从图像上看对称有何作用，而是要用数学式子表述对称的意义。
所谓图像关于点A对称，其意义是：对f（x）的图象上的任何点P（x，y），设它关于A的对称点为Q（1-x，1-y），则Q在f（x）的图象上。
于是，可这样用数学式子描述图像的对称性：
对任何满足y=的实数x、y，有
1-y=。
这样，目标变为：由以上两式中x、y取值的任意性，求出合乎条件的a。
两式相加，可知对一切实数x，有
+=1。
由此可求出a。具体解答如下：
【新写】因为f（x）的图象关于
A（，）对称，在f（x）的图象上任取一点P（x，y），设P关于A的对称点为Q（1-x，1-y），那么Q在f（x）的图象上。
于是，对一切实数x，有
y=，1-y=。
两式相加，得
+=1。
即（a+）+（a+）
=a+++4，
化简得2a=a+4，解得a=4。
经检验，a=4合乎要求。