本文内容选自2021年丹东中考数学几何压轴题。以正方形为背景考查半角模型，构造旋转辅助线证明结论。模型比较常规，问法比较新颖。
【中考真题】
（2021·丹东）已知，在正方形中，点、为对角线上的两个动点，且，过点、分别作、的垂线相交于点，垂足分别为、，设的面积为，的面积为，的面积为．
（1）如图（1），当四边形为正方形时，①求证：；②求证：．
（2）如图（2），当四边形为矩形时，写出，，三者之间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若，请直接写出的值．
【分析】
（1）①根据AAS或者ASA进行证明全等即可。
②由于等腰直角三角形的面积为斜边平方的一半，那么求证S3=S1+S2，也就是证明AM、MN、NC之间的数量关系即可。这个就是典型的45°半角模型，可以考虑将△BNC或△AMB进行旋转，当然，也可以考虑其他的辅助线构造方式，如翻折等等。
（2）由于∠MBN=45°，所以结论始终成立，证法不变。
（3）已知BG与GC的比值，那么求AF与FB的比值就需要m与n进行表示。可以直接设BG=m，GC=n，然后表示出边长BC与AB，设AM为x，表示出MN，再用上题的结论进行化简，得到AF与m、n之间的关系。进而得到结论，难度不大。【答案】解：（1）①在正方形和正方形中，，，，，，即，
②证法1：如图1，连接，则过点，且，，由①知，，，，，，，，，，，，，，，，同理，，，
，
．
证法2：如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，则，，，，，，即、、在同一条直线上，，，，即，在和中，，，，，，即，和都是等腰直角三角形，，，是等腰直角三角形，，，，，．
（2），理由如下：
证法1：如图2，连接交于点，
四边形是正方形，四边形为矩形，，，，，，，，，同理，，，，，，，，，．证法2：如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，则，，，与（1）②同理可得：，，，，即，和都是等腰直角三角形，，，是等腰直角三角形，，，，，．（3）解法1：根据题意可设，，，，即，，，．解法，设，，，设，则，、和都是等腰直角三角形，，，，，，化简整理，得：，即，
，
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