排列组合一直是很多同学比较头疼的问题,因为排列组合题型变幻多样,且很多组合方法似是而非,这样就会导致错排漏排或多排问题。今天我们就高考中常考的一些组合方法和策略,以及各自适合什么样的情形,做一个详细的讲解,希望对大家有所帮助。
1、捆绑法又称为相邻问题
将相邻元素放在一起,当作一个元素,参与排列,然后再对相邻元素进行排列。
例1、(2021·河北张家口市)某班优秀学习小组有甲、乙、丙、丁、戊共5人,他们排成一排照相,则甲、乙二人相邻的排法种数为( )
A.24 B.36 C.48 D.60
2、不相邻问题插空法
元素不相邻问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位(包含两端).
例2、(2020·河北石家庄市·石家庄二中高二期中)省实验中学为预防秋季流感爆发,计划安排学生在校内进行常规体检,共有3个检查项目,需要安排在3间空教室进行检查,学校现有一排6间的空教室供选择使用,但是为了避免学生拥挤,要求作为检查项目的教室不能相邻,则共有( )种安排方式.
A.12 B.24 C.36 D.48
3、平均分组问题:先分组再除以分组排列数
例3、6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少种分法?
4、分组分配问题
解题思路:分组是组合问题,分配是排列问题;
分组方法:①完全均匀分组,分组后除以组数的阶乘②部分均匀分组,有m组元素个数相同,则分组后除以m!③完全非均匀分组,只需分组即可。
分配方法:①相同元素分配,常用挡板法②不同元素分配,分步乘法计数原理,先分组后分配③有限制条件的分配,常用分类求解。
即先分组再分配的问题,先分组的过程中若产生平均分组问题,要除以平均分组的排列数(同方法3例3);最后再以分的组数进行排列。
例4、(2020·全国)疫情期间,上海某医院安排5名专家到3个不同的区级医院支援,每名专家只去一个区级医院,每个区级医院至少安排一名专家,则不同的安排方法共有( )
A.60种 B.90种 C.150种 D.240种
解:5名专家到3个不同的区级医院,分为1,2,2和1,1,3两种情况;
5、特殊元素或位置优先策略
例5、由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数。
6、定序问题倍缩空位法
设有n个元素进行排列,其中m个元素按一定的顺序排列
7、标号排位问题分步法
把元素排到指定号码的位置上,可先把某个元素按规定排入,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成.
例7、将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有[ ]
A.6 种B.9 种C.11 种D.23 种
解:先把1填入方格,符合条件的有3种方法,第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格,又有三种方法;第三步填余下的两个数字,只有一种填法,共有3×3×1=9 种填法,故选 B.
8、需求分类解决策略
元素排列需要满足一定的要求,分为不相容的若干类,分别计算,最后总计.
例8、由数字0,1,2,3,4,5组成且没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有[ ] A.210 个B.300 个C.464 个D.600 个
9、元素相同问题隔板策略
将n个相同元素分成m份,(n,m为正整数)每份至少一个元素,可以用m-1块隔板,插入n个元素排成一排的n-1个空隙中,所有分法共有
10、交叉问题集合策略
某些排列组合问题几部分之间有交集,可用集合中求元素个数公式n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)
例10、从6名运动员中选出4个参加4×100m接力赛,如果甲不跑第一棒,乙不跑第四棒,共有多少种不同参赛方法?
解:设全集Ⅰ={6人中任取4人参赛的排列},A={甲第一棒的排列},B={乙跑第四棒的排列},根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有:
n(Ⅰ)-n(A)-n(B)+n(A∩B)=P64- P53- P53+ P42=252(种).
11、正难则反的总体淘汰策略
对于正面直接考虑比较复杂的排列组合问题,往往其反面比较简单,可以先求出其反面,再从总体中淘汰。
例11、五二班有38名同学,从中任抽5人,班长、团支书、体育委员至少有一人在内的抽法有多少种?
12、选排问题先取后排策略
从几类元素中选取符合题意的几个元素,再排列到一定位置上,可用先取后排法.
例12、9名乒乓球运动员,其中男5名,女4名,现在要进行混合双打训练,有多少种不同分组法?
13、多排问题直排策略
把元素排成几排的问题,可归结为一排考虑,再分段处理.
例13、6个不同的元素排成前后两排,每排3个元素,那么不同的排法种数是[ ]
A.36 B.120 C.720 D.1440.
14、环排问题直排策略
例14、8人围坐而坐,共有多少种坐法?
解:若是排成一排有首尾之分,共有8!种坐法;
围成一桌没有收尾之分,所以固定一人并从此位置把圆形展成直线,其余7人共有(8-1)!=5040种坐法。
15、综合法
多数情况下,单一策略可能难以解决一道问题,这个时候我们就需要综合应用以上各种策略。
好了,今天关于排列组合的常用解题方法和策略我们就介绍到这里,当然还有其他方法,比如:重排求幂法、数字排序查字典法、小集团问题先整体后局部等,由于使用较少,这里我们不做介绍。