【杂题】
1．难度： 将1到8这8个自然数分别填入如图数阵中的8个圆圈，使得数阵中各条直线上的三个数之和都相等，那么A和B两个圆圈中所填的数之差(大数减小数)是______ 。 【答案】 设各条直线上的三个数之和都为s，那么在五条直线上 5s=2(1+2+3+…+8)-B，即5s=72-B， 所以或 只考虑斜着的两条直线和横着的一条直线又可得(1+2+3+…+8)+A=3s， 即36+A=3s， 因此有或，综合有， 所以A和B两个圆圈中所填的数之差(大数减小数)是4。 2．难度： 把1～2012这2012个自然数，按顺时针方向依次排列在一个圆圈上，如图所示，从1开始沿顺时针方向，保留1，擦去2；保留3，擦去4；……(每隔一个数，擦去一个数)，转圈擦下去。求最后剩的是哪个数？
【答案】 如果是2个数1、2，最后剩下1；如果是3个数1、2、3，最后剩下3；如果是4个数1、2、3、4，最后剩下1；如果是5个数1、2、3、4、5，最后剩的是3；如果是6个数1、2、3、4、5、6，最后剩的是5；如果是7个数1、2、3、4、5、6、7，最后剩的是7；如果是8个数1、2、3、4、5、6、7、8，最后剩的是1…… 可以发现当数的个数是2，4，8时，最后剩的都是1(操作的起始数)。这是为什么呢？以8个数为例，数一圈，擦掉2，4，6，8，就相当于从1开始还有4个数的情况，4个数时，从1开始，数一圈，又擦掉2个，还剩从1开始的两个数，擦掉1以外的数，最后剩1。 这样，数的个数是16，32，64，…，2n时，最后剩的都是起始数1。 当数的个数是3时，擦去2，还剩2个数，最后应剩下此时的起始数3；数的个数是5时，擦去2，还剩4个数，最后也应剩下此时的起始数3……根据以上规律，如果有18个数，擦去2、4，剩下16个数，再擦下去，最后应剩下此时的起始数5。就是说，擦去若干个数后，当剩下的数的个数是2n时，此时的起始数就是最后剩下的数。
本题中，因为=1024 ， ，所以，且2012-1024=988，就是说，要剩个数，需要擦去988个数，按题意，每两个数擦去一个数，当擦第988个数时，擦的数是988×2=1976，下一个起始数是1977，那么最后剩的就应该是1977。