方差 - 聚热点

方差

方差(Variance)

　　方差和标准差是测度数据变异程度的最重要、最常用的指标。

　　方差是各个数据与其算术平均数的离差平方和的平均数，通常以 $σ 2$ 表示。方差的计量单位和量纲不便于从经济意义上进行解释，所以实际统计工作中多用方差的算术平方根——标准差来测度统计数据的差异程度。

　　标准差又称均方差，一般用σ表示。方差和标准差的计算也分为简单平均法和加权平均法，另外，对于总体数据和样本数据，公式略有不同。

　　设总体方差为 $σ 2$ ，对于未经分组整理的原始数据，方差的计算公式为：

　　 $\sigma^2=\frac{\sum_{i=1}^N(X_i-\bar{X})^2}{N}$

　　对于分组数据，方差的计算公式为：

　　 $\sigma^2=\frac{\sum_{i=1}^K(X_i-\bar{X})^2 f_i}{\sum_{i=1}^K f_i}$

　　方差的平方根即为标准差，其相应的计算公式为：

　　未分组数据： $\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^N(X_i-\bar{X})^2}{N}}$

　　分组数据： $\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^K(X_i-\bar{X})^2 f_i}{\sum_{i=1}^K f_i}}$

　　样本方差与总体方差在计算上的区别是：总体方差是用数据个数或总频数去除离差平方和，而样本方差则是用样本数据个数或总频数减1去除离差平方和，其中样本数据个数减1即n－1称为自由度。设样本方差为 $S_{n-1}^2$ ，根据未分组数据和分组数据计算样本方差的公式分别为：

　　未分组数据： $S_{n-1}^2=\frac{\sum_{i=1^n(x_i-\bar{x})^2}}{n-1}$

　　分组数据： $S_{n-1}^2=\frac{\sum_{i=1^k(x_i-\bar{x})^2 f_i}}{\sum_{i=1}^k f_i-1}$

　　未分组数据： $S_{n-1}=\sqrt{\frac{\sum_{i=1^n(x_i-\bar{x})^2}}{n-1}}$

　　分组数据： $S_{n-1}=\sqrt{\frac{\sum_{i=1^k(x_i-\bar{x})^2 f_i}}{\sum_{i=1}^k f_i-1}}$

　　例:考察一台机器的生产能力，利用抽样程序来检验生产出来的产品质量，假设搜集的数据如下：

3.43	3.45	3.43	3.48	3.52	3.50	3.39
3.48	3.41	3.38	3.49	3.45	3.51	3.50

　　根据该行业通用法则：如果一个样本中的14个数据项的方差大于0.005，则该机器必须关闭待修。问此时的机器是否必须关闭？

　　解：根据已知数据，计算 $\bar{x}=\frac{\sum x}{n}=3.459$

　　 $S^2=\frac{\sum(x-\bar{x})^2}{n-1}=0.002<0.005$

　　因此，该机器工作正常。

　　方差和标准差也是根据全部数据计算的，它反映了每个数据与其均值相比平均相差的数值，因此它能准确地反映出数据的离散程度。方差和标准差是实际中应用最广泛的离散程度测度值。