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肯德尔和谐系数

  	      	      	    	    	      	    
肯德尔和谐系数(the kandall coefficient of concordace) 
 
目录
  
 
 肯德尔和谐系数的概念 
 
　　肯德尔和谐系数是计算多个等级变量相关程度的一种相关量。前述的spearman等级相关讨论的是两个等级变量的相关程度，用于评价时只适用于两个评分者评价N个人或N件作品，或同一个人先后两次评价N个人或N件作品，而kandall和谐系数则适用于数据资料是多列相关的等级资料，即可是k个评分者评(N)个对象，也可以是同一个人先后k次评N个对象。通过求得kandall和谐系数，可以较为客观地选择好的作品或好的评分者。 
 
 肯德尔和谐系数的公式与计算[1] 
 
　　以下用W表示肯德尔和谐系数 
　　(1)同一评价者无相同等级评定时，W的计算公式： 
　　W=\frac{S}{\frac{1}{12}K^2(N^3-N)}　　　　(1) 
　　式中：N—被评的对象数；  K—评分者人数或评分所依据的标准数； 
　　S—每个被评对象所评等级之和Ri与所有这些和的平均数\overline{R_i}的离差平方和，即 
　　S=\sum_{i=1}^n (R_i-\overline{R_i})^2=\sum_{i=1}^n R_i^2-\frac{1}{n}(\sum_{i=1}^n R_i)^2 
　　当评分者意见完全一致时，S取得最大值\frac{1}{2}K^2(N^3-N)可见，和谐系数是实际求得的S与其最大可能取值的比值，故0≤W≤1。 
　　(2)同一评价者有相同等级评定时，W的计算公式： 
　　W=\frac{S}{\frac{1}{12}[K^2(N^3-N)-K\sum_{i=1}^K T_i]}　　　　(2) 
　　式中K、N、S的意义同(1)式，T_i=\sum_{i=1}^{m_i}(n_{ij}^3-n_{ij}) 
　　这里mi为第i个评价者的评定结果中有重复等级的个数，nij为第i个评价者的评定结果中第j个重复等级的相同等级数。 
　　对于评定结果无相同等级的评价者，Ti = 0，因此只须对评定结果有相同等级的评价者计算Ti。 
　　【例1】  某校开展学生小论文比赛，请6位教师对入选的6篇论文评定得奖等级，结果如下表所示，试计算6位教师评定结果的kandall和谐系数。 
 
 
 论文编号
评等
评分老师		一二三四五六 
 
 A312546 
 
 B213456 
 
 C321546 
 
 D412635 
 
 E312645 
 
 F421536 
 
 Ri19811312334\sum K=126 
 
 R_i^2361641219615291156R_i^2=3192 
 
　　解：由于每个评分老师对6篇论文的评定都无相同的等级，故用公式(1)，由表中数据得： 
　　S=\sum_{i=1}^6 R_i^2-\frac{1}{6}(\sum_{i=1}^6 R_i)^2=3192-\frac{1}{6}\times126^2=546 
　　W=\frac{S}{\frac{1}{12}K^2(N^3-N)}=\frac{546}{\frac{1}{12}6^2(6^3-6)}=\frac{546}{630}=0.87 
　　(由W=0.87表明6位老师的评定结果有较大的一致性) 
　　【例2】 3名专家对6篇心理学论文的评分经等级转换如下表所示，试计算专家评定结果的肯德尔和谐系数 
 
 
 论文
等级
专家		ABCDEF 
 
 甲142.5562.5 
 
 乙231564 
 
 丙1.531.545.55.5 
 
 Ri4.51051417.51263 
 
 R_i^220.2510025196306.25144791.5 
 
　　解：由于专家甲、丙对6篇论文有相同等级的评定，故用公式(2)计算W： 
　　甲T = 23 − 2 = 6 
　　丙T = (23 − 2) + (23 − 2) = 12 
　　S=\sum_{1}^6 R_i^2-\frac{1}{2}(\sum_{1}^6 R_i)^2=791.5-\frac{1}{6}\times63^2=130.00 
　　W=\frac{S}{\frac{1}{12}[K^2(N^3-N)-K\sum T_i]}=\frac{130}{\frac{1}{12}[3^2(6^3-6)-3\times(6+12)]}=\frac{130}{153}=0.849673203=0.85 
　　由W=0.85可看出专家评定结果有较大的一致性。 
 
 肯德尔和谐系数的显著性检验 
 
　　1、当评分者人数(k)在3-20之间，被评者(N)在3-7之间时，可查《肯德尔和谐系数(W)显著性临界值表》，检验W是否达到显著性水平。若实际计算的S值大于k、N相同的表内临界值 ，则W达到显著水平。 
　　例如例3中，K=6  N=6，查表得检验水平分别为α = 0.01，α = 0.05的临界值各为S0.01 = 282.4，S0.05 = 221.4，均小于实算的S=546，故W达到显著水平，认为6位教师对6篇论文的评定相当一致。 
　　2、当被评者n＞7时，则可用如下的x2统计量对W是否达到显著水平作检验。 
　　设H0：评价者意见不一致 
　　则：x^2=k(N-1)W^{H_0}-x^2(N-1)　　　　(3)  
　　对给定的水平α，由P(X^2>X_{1-\alpha}^2)=\alpha ,查df=N-1的X2分布表得临界值为分位数 
　　X_{1-\alpha}^2 ，将计算出的kandall系数W等代入(3)式计算X2值 
　　若X^2>X_{1-\alpha}^2(N-1)则拒绝H0，认为评分者的意见显著一致。 
　　若X^2 \le X_{1-\alpha}^2(N-1)则H0认为评分者的评判显著不一致。 
　　例如，在一次教学评价中，10位评价者对12项指示进行评价，已计算出W=0.65，需检验评价者的意见是否有显著的一致性(α = 0.01)。 
　　将k=10   N=12   W=0.65代入(3)计算得 
　　X^2=10(12-1)\times0.65=71.5 
　　查表得X_{0.99}^2(11)=24.73<X^2=71.5 
　　故认为10位评价者对12个指标的评价具有显著的一致性。 
 
 参考文献 
 
 
  1. ↑ 杨宗义.教育统计学[M].科学技术文献出版社,1990年08月第1版.