模糊集合

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模糊集合(Fuzzy Sets)

什么是模糊集合

　　模糊集合是由在某种程度上属于它的原素构成的。从隶属到不隶属的转变，不像普通集合那样是硬性的，而是软性的。同样，模糊逻辑的对象是不明确的真理，模糊联结词和推论规则与古典的二值逻辑是对立的。

　　给定一个论域 U ，那么从 U 到单位区间 [0,1] 的一个映射

　　 $\mu_{A}: U \mapsto [0,1]$

　　称为 U 上的一个模糊集合，或 U 的一个模糊子集，

　　要注意，严格地说，模糊集合或子集是映射所确定的序对集，但由于模糊子集完全由其隶属函数所确定，因而我们不区分映射和映射所确定的序对集，而总是直接把模糊子集定义为一个满足上述定义的映射。

　　模糊集合可以记为 A 。

　　映射（函数） μ_A(·) 或简记为 A(·) 叫做模糊集合 A 的隶属函数。

　　对于每个 x ∈ U ， μ_A(x) 叫做元素 x 对模糊集合 A 的隶属度。

　　模糊集合的常用表示法有下述几种：

　　解析法，也即给出隶属函数的具体表达式。

　　Zadeh 记法，例如 $A={1\over x_1}+{0.5\over x_2}+{0.72\over x_3}+{0\over x_4}$ 。分母是论域中的元素，分子是该元素对应的隶属度。有时候，若隶属度为0，该项可以忽略不写。

　　序偶法，例如 $A = {(x 1,1),(x 2,0.5),(x 3,0.72),(x 4,0)}$ ，序偶对的前者是论域中的元素，后者是该元素对应的隶属度。

　　向量法，在有限论域的场合，给论域中元素规定一个表达的顺序，那么可以将上述序偶法简写为隶属度的向量式，如 A = (1,0.5,0.72,0) 。

模糊集合的运算

各种算子

　　Zadeh 算子，max 即为并，min 即为交

　　 $a\vee b=max(a,b)$

　　 $a\wedge b=min(a,b)$

　　代数算子（概率和、代数积）

　　 $a\stackrel{\wedge}{+} b =a+b-ab$

　　 $a\cdot b = ab$

　　有界算子

　　 $a\oplus b =min(1,a+b)$

　　 $a\dot b = max(0,a+b-1)$

　　Einstein 算子

　　 $a\stackrel{+}{\epsilon} b = \frac{a+b}{1+ab}$

　　 $a\stackrel{\cdot}{\epsilon} b = \frac{ab}{1+(1-a)(1-b)}$

　　Hamacher 算子，其中ν ∈ [0,+∞) 是参数，等于1时转化为代数算子，等于2时转化为 Einstein 算子

　　 $a\stackrel{+}{\nu} b = \frac{a+b-ab-(1-\nu)ab}{\nu+(1-\nu)(1-ab)}$

　　 $a\stackrel{\cdot}{\nu} b = \frac{ab}{\nu+(1-\nu)(a+b-ab)}$

　　Yager 算子，其中 p 是参数，等于1时转化为有界算子，趋于无穷时转化为 Zadeh 算子

　　 $a Y p b = m i n 1,(a p + b p) 1 / p$

　　 $a y p b = 1 - m i n 1,[(1 - a) p + (1 - b) p] 1 / p$

　　λ-γ 算子，其中 λ,γ∈ [0,1] 是参数

　　 $a\;\lambda\;b = \lambda ab+(1-\lambda)(a+b-ab)$

　　 $a\;\gamma\;b = (ab)^{1-\gamma}(a-ab)^\gamma$

　　Dobois-Prade 算子，其中 λ ∈ [0,1] 是参数

　　 $a\vee_d b = \frac{a+b-ab-min{(1-\lambda),a,b}}{max(\lambda,1-a,1-b)}$

　　 $a\wedge_d b = \frac{ab}{max(\lambda,a,b)}$

算子的性质

　　主要算子的性质对比表如下（.表示不满足，-表示未验证）：

算子	结合律	交换律	分配律	互补律	同一律	幂等律	支配律	吸收律	双重否定律	德·摩根律
Zedah	√	√	√	.	√	√	√	√	√	√
代数	√	√	.	.	√	.	√	.	-	√
有界	√	√	.	√	√	.	√	√	-	√

　　线性补偿是指：

$(\forall x,y,k \in [0,1])(x+k \wedge y-k\ \Rightarrow\ U(x+k,y-k)=U(x,y))$ ^[1]

算子的并运算	幂等律	排中律	分配律	结合律	线性补偿
Zadeh	√	.	√	√	.
代数	.	.	.	√	.
有界	.	√	.	.	√
Hamacher r = 0	.	.	.	√	.
Yager	.	.	.	√	.
Hamacher	.	.	.	√	.
Dobois-Prade	.	.	.	√	.

模糊集合之间的距离

使用度量理论

　　可以使用一般的度量理论来描述模糊集合之间的距离。在这个意义上，我们需要在模糊幂集 F(U) 上建立一个度量，此外，我们还可能需要将此度量标准化，也即映射到 [0,1] 区间上。例如可以这样来标准化 Minkowski 距离：

　　 $\tilde{d}(x,y)=\left({1\over n}\sum\limits_{i=1}^n \left| x_i - y_i \right|^p \right)^{1\over p}$

贴近度

　　另一种是使用贴近度概念。在某种意义上，贴近度就是 1 - 距离（这里的距离是上述标准化意义上的距离）。而之所以应用这个变换，是考虑到“度”的概念的直觉反映——距离越近，贴近的程度显然越“高”，因此它恰为距离的反数。

　　除了距离外，还有一些与模糊集合的特殊操作有关系的贴近度定义。

　　最大最小贴近度

　　 $\displaystyle \sigma(A,B)=\frac{\sum_{i=1}^{n}(A(u_i)\wedge B(u_i))}{\sum_{i=1}^{n}(A(u_i)\vee B(u_i))}$

　　算术平均最小贴近度

　　 $\displaystyle \sigma(A,B)=\frac{\sum_{i=1}^{n}(A(u_i)\wedge B(u_i))}{{1\over 2}\sum_{i=1}^{n}(A(u_i)+B(u_i))}$

　　几何平均最小贴近度

　　 $\displaystyle \sigma(A,B)=\frac{\sum_{i=1}^{n}(A(u_i)\wedge B(u_i))}{\sum_{i=1}^{n}\sqrt{A(u_i)\cdot B(u_i)}}$

　　指数贴近度

　　 $\displaystyle \sigma(A,B)=\frac{1}{e^{\|A-B\|}}$

　　模糊集合的模糊度

　　一个模糊集合 A 的模糊度衡量、反映了 A 的模糊程度，一个直观的定义是这样的：

　　设映射 D : F(U) → [0,1] 满足下述5条性质：

　　清晰性：D(A) = 0 当且仅当 A ∈ P(U)。（经典集的模糊度恒为0。）

　　模糊性：D(A) = 1 当且仅当 ∀ u ∈ U 有 A(u) = 0.5。（隶属度都为0.5的模糊集合最模糊。）

　　单调性：∀ u ∈ U，若 A(u) ≤ B(u) ≤ 0.5，或者 A(u) ≥ B(u) ≥ 0.5，则 D(A) ≤ D(B)。

　　对称性：∀ A ∈ F(U)，有 D(A^c) = D(A)。（补集的模糊度相等。）

　　可加性：D(A∪B) + D(A∩B)=D(A) + D(B)。

　　则称 D 是定义在 F(U) 上的模糊度函数，而 D(A) 为模糊集合 A 的模糊度。

　　可以证明符合上述定义的模糊度是存在的^[2]，一个常用的公式（分别针对有限和无限论域）就是

　　 $D_p(A)=\frac{2}{n^{1/p}}\left(\sum\limits_{i=1}^n\left|A(u_i)-A_{0.5}(u_i)\right|^p\right)^{1/p}$

　　 $D(A)=\int_{-\infty}^{+\infty}|A(u)-A_{0.5}(u)|\mbox{d}u$

　　其中 p > 0 是参数，称为 Minkowski 模糊度。特别地，当 p = 1 的时候称为 Hamming 模糊度或 Kaufmann 模糊指标，当 p = 2 的时候称为 Euclid 模糊度。

参考文献

↑ Etienne E.Kerre等，模糊集合理论与近似推理[C]，武汉大学出版社，2004年，第103页。
↑ 陈水利等，模糊集合理论及其应用[C]，科学出版社，2005年，第20页。