高斯博内定理

什么是高斯-博内定理

　　在微分几何中，高斯-博内定理是指关于曲面的图形（由曲率表征）和拓扑（由欧拉示性数表征）间联系的一项重要表述。它是以卡尔•弗里德里希•高斯和皮埃尔•奥西安•博内命名的，前者发现了定理的一个版本但从未发表，后者1848年发表了该定理的一个特例。

　　设 $M$ 是一个紧的二维黎曼流形， $\partial M$ 是其边界。令 $K$ 为 $M$ 的高斯曲率， $k g$ 为 $\partial M$ 的测地曲率。则有

　　 $\int_M K\;dA+\int_{\partial M}k_g\;ds=2\pi\chi(M), \,$

　　其中dA是该曲面的面积元，ds是M边界的线元。此处 $χ(M)$ 是 $M$ 的欧拉示性数。

　　如果 $\partial M$ 的边界是分段光滑的，我们将 $\int_{\partial M}k_g\;ds$ 视作光滑部分相应的积分之和，加上光滑部分在曲线边界上的转过的角度之和。