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高斯马尔可夫定理

  	      	      	    	    	      	    

高斯-马尔可夫定理(Gauss-Markov Assumptions)

目录

什么是高斯-马尔可夫定理

  在统计学中,高斯-马尔可夫定理是指在误差零均值,同方差,且相关线性回归模型中,回归系数的最佳线性无偏估计就是最小方差估计。一般而言,任何回归系数的线性组合之BLUE(Best Linear Unbiased Estimators)就是它的最小方差估计。在这个线性回归模型中,其误差不需要假定为正态分布或独立同分布(而仅需要满足相关和方差这两个稍弱的条件)。

  指在给定经典线性回归的假定下,最小二乘估计量是具有最小方差的线性无偏估计量的这一定理。

  高斯--马尔可夫定理的意义在于,当经典假定成立时,我们不需要再去寻找其它无偏估计量,没有一个会优于普通最小二乘估计量。也就是说,如果存在一个好的线性无偏估计量,这个估计量的方差最多与普通最小二乘估计量的方差一样小,不会小于普通最小二乘估计量的方差。

高斯-马尔可夫定理的内容

  具体而言,假设

  Y_i=\beta_0+\beta_1 x_i+\varepsilon_i。(i = 1……n)

  其中β0和β1是非随机且未观测到的参数,xi 是观测到的变量,εi随机误差,Yi随机变量(x小写:因x非为随机变量,Y大写:因Y为随机变量)。

  高斯-马尔可夫定理的条件是:

  {\rm E}\left(\varepsilon_i\right)=0,

  {\rm var}\left(\varepsilon_i\right)=\sigma^2<\infty,

  {\rm cov}\left(\varepsilon_i,\varepsilon_j\right)=0i\not=j,也就是“不相关性”。

  βi的线性无偏估计指的是E{x'e}=0使得E{b}=β