霍奇对偶

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什么是霍奇对偶

　　霍奇对偶是指由苏格兰数学家威廉•霍奇引入的一个重要的线性映射。它定义在有限维定向 (数学)定向内积空间的外代数上。

霍奇对偶的维数与代数

　　霍奇星算子在多重形式|k-形式空间与 (n -k)-形式空间建立了一个对应。一个 k-形式在这个对于下的像称为这个 k-形式的霍奇对偶。k-形式空间的维数是

${n \choose k},\,$

　　后一个空间的维数是

${n \choose n - k},\,$

　　又由二项式系数的对称性，这两个维数事实上相等。两个具有相同维数的形式空间总同构；但不一定有一种自然或典范的方式。但霍奇对偶性利用了向量空间内积和定向，给出了一个特定的同构，因此在代数上这反应了二项式系数的性质。这也在 k-形式空间上诱导了一个内积。“自然”定义意味着这个对偶性关系在理论中可起几何作用。

　　第一个有趣的情形是在三维欧几里得空间 V。在这种情形，帕斯卡三角形相关行是

1, 3, 3, 1

　　霍奇对偶在两个三维空间之间建立起一个同构，一个是 V 自己，另一个是 V 中两个向量的楔积。具体细节参见#例子|例子一节。叉积只是三维的特殊性质，但霍奇对偶在所有维数都有效。

霍奇对偶的扩张

　　由于一个向量空间上 k 个变量的交错线性形式空间自然同构于那个向量空间上的 k-向量空间的对偶空间|对偶，霍奇对偶也能对这些空间定义。与线性代数的大部分构造一样，霍奇对偶可以扩张到一个向量丛。这样的霍奇对偶特别常见的是在余切丛的外代数（即流形上的微分形式）上，可用来从外导数构造余微分，以及拉普拉斯-德拉姆算子，它导致了紧黎曼流形上微分形式的霍奇分解。

k-向量的霍奇星号的正式定义

　　一个定向 (数学)|定向内积向量空间 V 上的霍奇星算子是 V 的外代数上一个线性算子，将 k-向量子空间与 (n-k)-向量自空间互换，这里 n = dim V，0 ≤ k ≤ n。它具有如下性质，这些性质完全定义了霍奇星算子：给定一个定向正交基 $e_1,e_2,\cdots,e_n$ 我们有

$*(e_1\wedge e_2\wedge \cdots \wedge e_k)= e_{k+1}\wedge e_{k+2}\wedge \dots \wedge e_n.$

星算子的指标记法

　　使用指标记法，霍奇对偶由张量缩并|缩并一个 k-形式与 n-维完全反对称列维-奇维塔张量的指标得到。这不同于列维-奇维塔符号有一个额外因子 (det g)^½，这里 g 是一个内积（如果 g 不是正定的，比如伪黎曼流形#洛伦兹流形|洛伦兹流形的切空间，则取行列式的绝对值）。

　　从而有

$(*\eta)_{i_1,i_2,\ldots,i_{n-k}}= \frac{1}{k!} \eta^{j_1,\ldots,j_k}\,\sqrt {|\det g|} \,\epsilon_{j_1,\ldots,j_k,i_1,\ldots,i_{n-k}},\,$

　　这里 η 是任意一个反对称 k 阶张量。利用在定义列维-奇维塔张量中同一个内积 g 上升和下降指标。当然也可以对任何张量取星号，所得是反对称的，因为张量的对称分量在与完全反对称列维-奇维塔张量缩并时完全抵消了。

霍奇对偶的例子

　　星算子一个常见例子是在 n = 3，可以做为 3 维向量与斜对称矩阵之间的对应。这不明显地使用于向量分析中，例如由两个向量的楔积产生叉积向量。具体地说，对欧几里得空间 R³，容易发现

$*\mathrm{d}x=\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z$

和

$*\mathrm{d}y=\mathrm{d}z\wedge \mathrm{d}x$

以及

$*\mathrm{d}z=\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y$

　　这里 dx、dy 与 dz 是 R³ 上的标准正交微分1-形式。霍奇对偶在此情形显然对应于三维中的叉积。

　　当 n = 4 时，霍奇对偶作用在第二外幂（6 维）上是自同态。它是一个对合，从而可以分解为子对偶与反自对偶子空间，在这两个子空间上的作用分别为 +1 和 -1。

　　另一个有用的例子是 n = 4 闵可夫斯基时空，具有度量符号为 (+,-,-,-,) 与坐标 (t,x,y,z)，对1-形式有

$*\,\mathrm{d}t=\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y \wedge\mathrm{d}z$

$*\,\mathrm{d}x=\mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}y \wedge\mathrm{d}z$

$*\,\mathrm{d}y=-\mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}x \wedge\mathrm{d}z$

$*\,\mathrm{d}z=\mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}x \wedge\mathrm{d}y$

　　对2-形式有

$*\, \mathrm{d}t \wedge\mathrm{d}x = - \mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z$

$*\, \mathrm{d}t \wedge\mathrm{d}y = \mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}z$

$*\, \mathrm{d}t \wedge\mathrm{d}z = - \mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y$

$*\, \mathrm{d}x \wedge\mathrm{d}y = \mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}z$

$*\, \mathrm{d}x \wedge\mathrm{d}z = - \mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}y$

$*\, \mathrm{d}y \wedge\mathrm{d}z = \mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}x$

k-向量的内积

　　霍奇对偶在 k-向量空间上诱导了一个内积，即在 V 的外代数上。给定两个 k-向量 $η$ 与 $ζ$ ，有

$\zeta\wedge *\eta = \langle\zeta, \eta \rangle\;\omega,\,$

这里 ω 是正规化的体积形式。可以证明 $\langle\cdot,\cdot\rangle$ 是一个内积，它是半双线性的，并定义了一个范数。反之，如果在 $Λ k (V)$ 上给了一个内积，则这个等式可以做为霍奇对偶的另一种定义^[1]。

　　本质上，V 的正交基元素的楔积组成了 V 的外代数的一个正交基。当霍奇星号扩张到流形上，可以证明体积形式能写做

$\omega=\sqrt{|\det g_{ij}|}\;dx^1\wedge\ldots\wedge dx^n,\,$

　　其中 $g i j$ 是流形的度量张量|度量。

霍奇对偶的对偶性

　　当作用两次时霍奇星号定义了一个对偶，不考虑符号的话，所得结果是外代数上一个恒等式。给定 n-维空间 V 上一个 k-向量 $\eta \in \Lambda^k (V)$ ，我们有

$**\eta=(-1)^{k(n-k)}s\;\eta,\,$

　　这里 s 与 V 上内积的度量符号|符号有关。具体说，s 是内积张量行列式的符号。例如，如果 n = 4 时，若内积的符号是 (+,-,-，-) 或 (-,+,+,+) 则 s = -1。对普通的欧几里得空间，符号总是正的，所以 s = +1。在普通向量空间，这一般不是一个问题。当霍奇星号扩张到伪-黎曼流形上时，上面的内积理解为对角形式的度量。