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阿蒂亚辛格指标定理

  	      	      	    	    	      	    
目录
  
 
 什么是阿蒂亚-辛格指标定理 
 
　　在数学中，阿蒂亚-辛格指标定理是指：对于紧流形上的椭圆偏微分算子，其解析指标（与解空间的维度相关）等于拓扑指标（决定于流形的拓扑性状）。它涵摄了微分几何中许多大定理，在理论物理学中亦有应用。 
　　此定理由迈克尔•阿蒂亚与艾沙道尔•辛格于1963年证出。 
 
阿蒂亚-辛格指标定理微分算子的符号
 
　　X 是紧微分流形。 
　　E 与 F 是 X 上的向量丛。 
　　D: E \to F'是向量丛之间的椭圆偏微分算子。 
　　设 D 是带 k 个变元 x_1, \ldots, x_k 的 n 阶微分算子。其符号定义是以 x_1, \ldots, x_k, y_1, \ldots, y_k 为变元的函数，其定义是将 
　　 D = \sum_{r=0}^n \sum_{i_1 + \ldots + i_k = r} a_{i_1, \ldots, i_k}(\vec x) \partial_{x_1}^{i_1} \cdots \partial_{x_k}^{i_k} 
　　映至 
　　 \sum_{i_1 + \ldots + i_k = n}  a_{i_1, \ldots, i_k}(\vec x) y_1^{i_1} \cdots y_k^{i_k} 
　　因此符号对变元 \vec y 是个 n 次齐次多项式。若此多项式满足 P(\vec y) = 0 \Leftrightarrow \vec y=0，则称 D 是椭圆算子。 
　　例一：带 k 个变元的拉普拉斯算子其符号为 y_1^2 + \ldots y_k^2，这是一个椭圆算子。 
　　以上所述是 \mathbb{R}^k 上的偏微分算子。今考虑微分流形 X，其上的 n 阶偏微分算子可以藉局部坐标系定义。此时其符号是 X 的余切丛 p: T^* X \to X 上的函数；对固定的 x \in X，其符号是向量空间 T^*_x X 上的 n 次齐次函数，此定义与局部坐标的选取无关（偏微分算子在坐标变换下的变换较为复杂，只能以射流丛定义；然而其最高阶项的变换规律似于张量）。 
　　进一步言之，对于向量丛之间的偏微分算子 D: E \to F（一样以局部坐标定义），其符号是拉回丛  pHom(E,F) 的截面。若对每个 x \in X，此符号限制为可逆映像 E_x \to F_x，则称 D 为椭圆算子。 
　　粗略来说，椭圆算子的关键特性在于它们几乎可逆。对于紧流形上的椭圆算子 D: E \to F，存在一个椭圆伪微分算子 D' 使得 DD' 与 D'D 都是紧算子。由此可推知 D 的核与余核都是有限维的。 
 
阿蒂亚-辛格指标定理的指标解析
 
　　既然 D 有伪逆，它便是 Fredholm 算子。对这类算子，可定义指标为 
Index(D) = Dim Ker(D) − Dim Coker(D) = Dim Ker(D) − Dim Ker(D)。 
　　在微分几何的脉络下，常另称为D的解析指标。 
　　例二：考虑流形 \mathbb{S}^1 := \mathbb{R}/\mathbb{Z}，算子 D = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} - \lambda，其中 \lambda \in \mathbb{C}，这是最简单的椭圆算子。若 \lambda \in 2\pi i \mathbb{Z}，则 \mathrm{Ker}(D) = \mathbb{C} e^{\lambda x}，反之则为零空间；其伴随算子 D *  满足类似的性质，不难算出 D 的指数为零。由此例可见 \dim \mathrm{Ker}(D) 与 \dim \mathrm{Ker}(D^) 在 λ 变化时可能有不连续点，但其差则是个常数。 
 
阿蒂亚-辛格指标定理的拓扑指标
 
　　设 X 是 n 维紧微分流形，椭圆偏微分算子 D: E \to F 的拓扑指标定义为 
　　 ch(D)Td(X)[X] 
　　换言之，是同调类 ch(D)Td(X) 的最高维项在 X 的基本同调类上的取值。在此： 
　　 Td(X) 是流形的 Todd 类。 
　　 ch(D) = φ − 1(ch(d(pE,pF,σ(D)))，在此 \phi : H^k(X,\mathbb{Q}) \to H^{n+k}(B(X)/S(X), \mathbb{Q}) 是托姆同构，B(X),S(X) 指单位球丛及其边界。 
　　 ch 是陈特征，σ(D) 是 D 的符号，而 d(pE,pF,σ(D)) 是 K 理论中定义的差元。 
 
阿蒂亚-辛格指标定理的指标定理
 
　　符号同前。椭圆算子 D 的解析指标在微小的扰动下不变，因此产生了一个自然的问题，称为指标问题：可否以流形 X 及向量丛 E,F 的拓扑不变量表示解析指标？ 
　　阿蒂亚-辛格指标定理给出的解答是： 
　　D 的解析指标等于拓扑指标 
　　解析指标通常难以计算，而拓扑指标尽管定义复杂，却往往有直截了当的几何意义。藉由选取适当的椭圆算子 D: E \to F，指标定理可以给出丰富的几何信息。 
 
阿蒂亚-辛格指标定理的历史渊源
 
　　盖尔芳特首先注意到解析指标的同伦不变性，并在1959年提出了椭圆算子的指标问题，希望以流形的拓扑不变量描述解析指标。黎曼-罗赫定理是最早知道的特例；另一方面，波莱尔与希策布鲁赫早先证明了自旋流形的Â亏格的整性，并猜想这个性质可以由某个狄拉克算子的指标诠释。这个问题也由阿蒂亚与辛格在1961年连手解决。 
　　阿蒂亚与辛格在1963年宣布他们的指标定理，但一直没有正式发表，只出现在 Palais 在1965年出版的书上。他们在1968年发表了第二个证明，用K理论取代了初版证明中的配边论手法。 
　　阿蒂亚、拉乌尔•博特与 Patodi 在 1973 年以热传导方程的手法给出另一个证明。格茨勒基于爱德华•维腾（1982）及 Alvarez-Gaume（1983）的想法，给出了局部狄拉克算子的局部指标定理的简短证明，这涵摄了实际应用中的大多数例子。 
 
阿蒂亚-辛格指标定理的证明手法
 
伪微分算子
 
　　伪微分算子的想法可以从欧氏空间上的常系数偏微分算子解释，在此情况下，这些算子不外是多项式函数的傅立叶变换；如果我们容许更一般的函数，其傅立叶变换就构成了伪微分算子。对于一般的流形，可以透过局部坐标系定义伪微分算子，只是手续稍微繁琐一些。 
　　指标定理的许多证明中都利用伪微分算子，而非一般的微分算子，因为前者的理论更富弹性。举例来说，椭圆算子的伪逆不是微分算子，却仍是伪微分算子；另一方面，群 K(B(X),S(X)) 的元素对应到椭圆伪微分算子的符号。 
　　对伪微分算子可以定义阶数，这个数可以是任意实数，甚至是负无穷大；此外也能定义其符号。椭圆伪微分算子定义为对长度够长的余切向量为可逆的伪微分算子。指标定理的多数版本皆可推广到椭圆伪微分算子的情形。 
 
配边
 
　　指标定理的首个证明奠基于希策布鲁赫-黎曼-罗赫定理，并运用到配边理论与伪微分算子。想法简述如下。 
　　考虑由资料 (X,V) 构成的环，其中 X 是紧定向微分流形，V \to X 是向量丛，其加法与乘法分别由不交并与积导出；我们考虑此环对关系 (\partial X, V|_{\partial X}) \sim 0 的商环。这个构造类似于配边环，不过此时我们还虑及流形上的向量丛。解析指标与拓扑指标皆可诠释为从此环映至整数环的同态。托姆的配边理论给出了这个环的一组生成元，我们可以对这些较简单的例子验证指标定理，从而导出一般的情形。 
 
K 理论
 
　　阿蒂亚与辛格正式发表的第一个证明采用了K理论。设 X,Y 为紧流形，i: X \to Y 为闭浸入，他们对椭圆算子定义了一个推前运算 i!，并证明 i! 保持指标。我们一方面可取 Y 为一个包括 X 的高维球面；另一方面，仍取 Y 为前述球面，而 X 为其内一点。由于 i! 保持指标，而拓扑指标也具备兼容的运算，两相比较后可将指标定理化约到一个点的情形，此时极易证明。 
 
热传导方程
 
　　阿蒂亚、博特 与 Patodi 在1973年给出了热传导方程手法的证明。格茨勒、伯利纳与弗尼在2002年给出一个精神相近的简化证明，其中利用了超对称的想法。 
　　设 D 为偏微分算子，D *  为其伴随算子，则 D * D、DD *  是自伴算子，并具有相同的非零特征值（记入重数），但是它们核空间不一定有相同维度。D 的指标写作 
　　 \mathrm{Index}(D) = \dim \mathrm{Ker}(D) - \dim\mathrm{Ker}(D^*) = \mathrm{Tr} (e^{-tD^*D}) - \mathrm{Td}(e^{-tDD^*}) 
　　在此 t > 0 可任取。 
　　上式右侧是两个热核的差，它们在 t \to 0+ 时有渐近表示式，它乍看复杂，但不变量理论表明其中有许多相销项，藉此可明确写下领导项，由此可证出指标定理。这些相销现象稍后也得到超对称理论的诠释。 
 
阿蒂亚-辛格指标定理的推广
 
　　 推广至椭圆伪微分算子的情形。 
　　 考虑更一般的椭圆复形，这是一个由向量丛构成的上链复形 
　　0 → E0 → E1 →E2 → ...  → Em →0 
　　其中的每个箭头都是伪微分算子，其符号构成一个正合复形。当只有两项非零时，前述条件等价于其间的算子是椭圆的，因此椭圆算子是椭圆复形的特例。反过来说，给定一个椭圆复形，分别考虑其奇次项与偶次项的直和，其间的映射由原复形的映射及伴随映射给出，如此则可得到椭圆算子。 
　　 带边界的流形。 
　　 考虑一族以流形 Y 为参数空间而变化椭圆算子，相应的解析指数可定义为 K(Y) 的元素。 
　　 设李群 G 作用在紧流形 X 上，并与所论的椭圆算子交换，则我们可以用等变K理论替代一般的K理论，得到的结果称为等变指标定里。 
　　 L2 指标定理。 
 
阿蒂亚-辛格指标定理的例子
 
欧拉示性数
 
　　设 X 为有定向的紧流形。任选一黎曼度量，取 E := \bigwedge^\mathrm{even} T^ X，并取 F := \bigwedge^\mathrm{odd} T^ X，定义算子 D := d + d^ : E \to F。此时的拓扑指标等于 X 的欧拉示性数，解析指标等于 \sum_i (-1)^i \dim H^i_\mathrm{DR}(X)。 
 
希策布鲁赫-黎曼-罗赫定理
 
　　设 X 为紧复流形，V 为其上的复向量丛。定义 
　　 E := V \otimes \bigoplus_{i: \mathrm{even}} \Omega_X^{0,i} 
　　 F := V \otimes \bigoplus_{i: \mathrm{odd}} \Omega_X^{0,i} 
　　 D := \overline\partial + \overline\partial^ : E \to F 
　　则解析指标等于 
　　 \mathrm{Index}(D) = \sum (-1)^p \dim H^p (X,V) 
　　而拓扑指标等于 
　　 index(D) = ch(V)Td(X)[X], 
 
 亏格与 Rochlin 定理
 
　　流形的Â亏格是个有理数。对于自旋流形，这个值总是整数，若 \dim X \equiv 4 \mod 8，则它还是个偶数。这个定理可以由指标定理导出，方法是考虑适当的狄拉克算子；当 \dim X \equiv 4 \mod 8 时，此算子的核与余核带有四元数环上的向量空间结构，其复维度必为偶数，因此解析指标也必然是偶数。 
 
阿蒂亚-辛格指标定理的评价
 
　　当阿蒂亚与辛格在2004年获得阿贝尔奖时，公告上是这么形容阿蒂亚-辛格指标定理的： 
　　科学家以随时空改变的力与测量量描述世界。自然律以这些量的变化率表示，称为微分方程。这些方程可以有个指标，这是方程的解数减去对所求值的限制数目。阿蒂亚-辛格指标以空间的几何性质描述这个量。