里斯表示定理

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里斯表示定理

什么是里斯表示定理

　　在泛函分析中有多个有名的定理冠以里斯表示定理，它们是为了纪念匈牙利数学家弗里杰什•里斯。

希尔伯特空间表示定理

　　这个定理建立了希尔伯特空间与它的连续对偶空间的一个重要联系：如果底域是实数，两者是等距同构；如果域是复数，两者是等距反同构。如下所述，（反）同构是特别自然的。

　　设 $H$ 是一个希尔伯特空间，令 $H *$ 表示它的对偶空间，由从 $H$ 到域 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$ 的所有连续线性泛函。如果 $x$ 是 $H$ 中一个元素，则函数 $φ x$ 定义为

$\phi_x(y) = \left\langle y , x \right\rangle \quad \forall y \in H ,\,$

　　是 $H *$ 的一个元素，这里 $\langle\cdot,\cdot\rangle$ 表示希尔伯特空间的内积。里斯表示定理断言 $H *$ 中任何元素都能惟一地写成这种形式。

　　定理：映射

$\Phi:H \rightarrow H^*, \quad \Phi(x) = \phi_x$

　　是一个等距（反）同构，这就是说：

$Φ$ 是双射。
$x$ 的范数与 $Φ(x)$ 的范数相等： $\Vert x \Vert = \Vert\Phi(x)\Vert$ 。
$Φ$ 可加： $Φ(x 1 + x 2) = Φ(x 1) + Φ(x 2)$ 。
如果底域是 $\mathbb{R}$ ，则 $Φ(λ x) = λΦ(x)$ 对所有实数 $λ$ 。
如果底域是 $\mathbb{C}$ ，则 $\Phi(\lambda x) = \bar{\lambda} \Phi(x)$ 对所有复数 $λ$ ，这里 $\bar{\lambda}$ 表示 $λ$ 的复共轭。

　　 $Φ$ 的逆映射可以描述为：给定 $H *$ 中一个元素 $φ$ ，核 $φ$ 的正交补是 $H$ 的一维子空间。取那个子空间中一个非零元素 $z$ ，令 $x = \phi(z) \cdot z /{\left\Vert z \right\Vert}^2$ 。则 Φ(x) = φ。

　　历史上，通常认为这个定理同时由弗里杰什•里斯|里斯和莫里斯•雷内•弗雷歇在1907年发现（见参考文献）。格雷在评论从他认为是原型的里斯（1909）一文到里斯表示定理的发展时说：“给定运算 $A [f]$ ，可以构造有界变差函数 $α(x)$ ，使得无论连续函数 $f (x)$ 是什么，都有 $A[f] = \int_{0}^{1} f(x)\,d\alpha(x).$ ”