迪尼定理

  	      	      	    	    	      	    
迪尼定理(Dini's theorem) 
 
目录
 
 
1 什么是迪尼定理
 
2 迪尼定理的证明
 
 
 
什么是迪尼定理
 
　　在数学中，迪尼定理叙述如下：设 X 是一个紧致的拓扑空间， f(n) 是 X 上的一个单调递增的连续实值函数列（即使得对任意 n 和 X 中的任意 x 都有）。如果这个函数列逐点收敛到一个连续的函数 f ，那么这个函数列一致收敛到 f 。这个定理以意大利数学家乌利塞•迪尼命名。 
　　对于单调递减的函数列，定理同样成立。这个定理是少数的由逐点收敛可推出一致收敛的例子之一，原因是由单调性这个更强的条件。 
　　注意定理中的 f 一定要是连续的，否则可以构造反例。比如说在区间 [0,1] 上的函数列 {xn}。这是一个单调递减函数，逐点收敛到函数 f ：当 x 属于 [0,1) 时f(x) 等于 0 ，f(1) 等于 1。但这个函数列不是一致收敛的，因为 f 不连续。 
 
迪尼定理的证明
 
　　我们对单调递增的函数列作证明：对于任意  ，对每个 n ，设  再设为使得 的。显然每个gn 都连续，于是每个En 都是开集（在拓扑空间中，连续函数被定义为使得开集的原像都是开集的函数，可以证明这种定义和一般的连续定义是等价的，而是正实数集中的开集）。函数列{gn} 是单调递减的，因此En 是En + 1 的子集。又由于  逐点收敛到 f ，所有（En） 的并集是 X 的一个开覆盖。但是 X 是一个紧集于是存在正整数 N 使得EN = X。因此对所有 n > N，对所有的 ，都有 ，于是{fn} 一致收敛于 f 。