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贝特朗悖论,考虑一个内接于圆的等边三角形。若随机选方圆上的个弦,则此弦的长度比三角形的边较长的机率为何?
解法一:由于对称性,可预先指定弦的方向。作垂直于此方向的直径,只有交直径于1/4 点与 3/4 点间的弦,其长才大于内接正三角形边长。所有交点是等可能的,则所求概率为1/2 。此时假定弦的中心在直径上均匀分布。
解法二:由于对称性,可预先固定弦的一端。仅当弦与过此端点的切线的交角在60°~ 120° 之间,其长才合乎要求。所有方向是等可能的,则所求概率为1/3 。此时假定端点在圆周上均匀分布。
解法三: 弦被其中点位置唯一确定。只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内,其长才合乎要求。中点位置都是等可能的,则所求概率为1/4。此时假定弦长被其中心唯一确定。
这导致同一事件有不同概率,因此为悖论。
同一问题有三种不同答案,究其原因在于圆内“取弦”时规定尚不够具体,不同的“等可能性假定”导致了不同的样本空间,具体如下:其中“均匀分布”应理解为“等可能取点”。
解法一中假定弦的中点在直径上均匀分布,直径上的点组成样本空间Ω1.
解法二中假定弦的另一端在圆周上均匀分布,圆周上的点组成样本空间Ω2.
解法三中假定弦的中点在大圆内均匀分布,大圆内的点组成样本空间Ω3.
可见,上述三个答案是针对三个不同样本空间引起的,它们都是正确的,贝特朗悖论引起人们注意,在定义概率时要事先明确指出样本空间是什么。
实际上,所谓“悖论”一点也不悖。这只是反映了选择不同的坐标会导致不同的概率分配这一事实。至于哪一个分配是“正确”的,决定于事先确定的模型的如何应用或阐释。
就以上悖论而言,造成这种现象的主要是在于条件的限制。若题目中出现“随机”,“均匀分布”,“等可能”这些字眼,则对应着此悖论中1,2.3条的结果。
贝特朗给出了三个论证,全都是明显有效的,但导致的结果都不相同。 随机的弦,方法1
“随机半径”方法:选择一个圆的半径和半径上的一点,再画出通过此点并垂直半径的弦。为了计算问题的机率,可以想像三角形会旋转,使得其一边会垂直于半径。可观察到,若选择的点比三角形和半径相交的点要接近圆的中心,则弦的长度会比三角形的边较长。三角形的边会平分半径,因此随机的弦会比三角形的边较长的机率亦为二分之一。 随机的弦,方法2
“随机端点”方法:在圆周上随机选给两点,并画出连接两点的弦。为了计算问题中的机率,可以想像三角形会旋转,使得其顶点会碰到弦端点中的一点。可观察到,若另一个弦端点在弦会穿过三角形的一边的弧上,则弦的长度会比三角形的边较长。而弧的长度是圆周的三分之一,因此随机的弦会比三角形的边较长的机率亦为三分之一。 随机的弦,方法3
“随机中点”方法:选择圆内的任意一点,并画出以此点为中点的弦。可观察到,若选择的点落在半径只有大圆的半径的二分之一的同心圆之内,则弦的长度会比三角形的边较长。小圆的面积是大圆的四分之一,因此随机的弦会比三角形的边较长的机率亦为四分之一。
上述方法,得出每一个弦都可以被其中点唯一决定。上述三种方法会给出不同中点的分布。方法1和方法2会给出两种不同不均匀的分布,而方法3则会给出一个均匀的方法。但另一方面,若直接看弦的分布,方法2的弦会看起来比较均匀,而方法1和方法3的弦则较不均匀。