贝叶斯预测模型

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贝叶斯预测模型

贝叶斯预测模型的概述

　　贝叶斯预测模型是运用贝叶斯统计进行的一种预测.贝叶斯统计不同于一般的统计方法,其不仅利用模型信息和数据信息，而且充分利用先验信息。

　　托马斯·贝叶斯(Thomas Bayes)的统计预测方法是一种以动态模型为研究对象的时间序列预测方法。在做统计推断时，一般模式是：

　　先验信息+总体分布信息+样本信息→后验分布信息

　　可以看出贝叶斯模型不仅利用了前期的数据信息，还加入了决策者的经验和判断等信息，并将客观因素和主观因素结合起来，对异常情况的发生具有较多的灵活性。这里以美国1960—2005年的出口额数据为例，探讨贝叶斯统计预测方法的应用。

Bayes预测模型及其计算步骤

　　此处使用常均值折扣模型，这种模型应用广泛而且简单，它体现了动态现行模型的许多基本概念和分析特性。

常均值折扣模型

　　对每一时刻t常均值折模型记为DLM{1，1，V， $δ$ }，折扣因子 $δ$ ，O< $δ$ <l定义如下：

　　观测方程： $μ t = μ t - 1 + ω t$ ， $ω t$ ～N [O, $W t$ ]

　　状态方程： $y t = μ t + v t$ ， $v t$ ～N [0,V]

　　初始信息： $\mu_0\mid D_0$ ～N [ $m 0$ ， $C 0$ ]

　　其中 $μ$ 是t时刻序列的水平， $V t$ 是观测误差项或噪声项， $ω t$ 是状态误差项。

定理：对于每一时刻t，假设 $μ t - 1$ 的后验分布( $\mu_t\mid D_{t-1}$ )～N [ $m t - 1, C t - 1$ ]，则 $μ t$ 的先验分布( $\mu_t\mid D_{t-1}$ )～N [ $m t - 1, R t$ ]，其中 $R t = C t - 1 + W t$ 。

推论1：( $y_t\mid D_{t-1}$ )～N [ $f t, Q t$ ]，其中 $f t = m t - 1, Q t = R t + V$ 。

推论2： $μ t$ 的后验分布( $\mu_t\mid D_t$ )～N [ $m t$ ， $C t$ ]，其中 $m t = m t - 1 + A t e t, C t = A T v t, A t = R t / Q t, e t = y t - f t$

　　由于Rt=Ct-1+Wt=Ct-1/ $δ$ ,故有 $W - t = C t - 1 (δ - 1 - 1)$

其计算步骤为：

　　(1) $R t = C - t / δ$ ； (2) $Q t = R t + V$ ；

　　(3) $A t = R t / Q t$ ； (4) $f t - 1 = m t - 1$ ；

　　(5) $e t - y t - f t - 1$ ； (6) $C t = A t V$ ；

　　(7) $m t - m t - 1 + A t e t$

计算实例

　　根据The SAS System for Windows 9．0所编程序，对美国出口额 (单位：十亿元)变化进行了预测。选取常均值折扣模型和抛物线回归模型。

　　美国出口额的预测，预测模型的初始信息为 $m 0$ =304，Co=72，V=0.Ol， $δ$ =0.8得到的1960—2006年的预测结果。见表2中给出了预测的部分信息(1980—2006年的预测信息)。

　　通过The SAS System for Windows 9．0软件回归分析得到抛物线预测方程：

　　 $f_t=1752456-1786.85019x_1+O.45548x_t^2x_t$ 表示年份

见表3给出了1980-2006年的预测信息。

计算结果分析

　　对预测结果的准确度采用平均绝对百分误差(MAPE)分析。公式如下：

　　 $MAPE=\frac{1}{n}(f_t-f_t^\prime)/f_t*100%$

　　根据表l和表2对1980-2005年出口额的预测结果可知，常均值折扣模型所得结果的平均绝对百分误差MAPE=8.1745％，而由抛物线回归模型所得结果的平均绝对百分误差为9.5077％。由此可见这组数据中，使用贝叶斯模型预测的结果更为精确。

　　对于随机波动、变化相对稳定的数据，用常均值折扣模型预测是比较精确。这里研究的贝叶斯统计预测方法，在许多领域都可能适用。在解决这类相关问题时，贝叶斯统计预测方法与传统的预测方法相比有明显优势。