调和平均数

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调和平均数(Harmonic Average)

调和平均数概述

　　调和平均数又称倒数平均数，是变量倒数的算术平均数的倒数。

调和平均数的计算公式

　　调和平均数是给定数据的倒数之算术平均数的倒数。

　　 $H=\frac{1}{\frac{\sum \frac{1}{x}}{n}}=\frac{n}{\sum\frac{1}{x}}$ 　　（简单平均式）

　　 $H=\frac{1}{\frac{\sum \frac{1}{x}f}{\sum f}}=\frac{\sum f}{\sum\frac{1}{x}f}$ 　　（加权平均式）

调和平均数的特点

　　1、调和平均数易受极端值的影响，且受极小值的影响比受极大值的影响更大。

　　2、只要有一个变量值为零，就不能计算调和平均数。

　　3、当组距数列有开口组时，其组中值即使按相邻组距计算了，假定性也很大，这时，调和平均数的代表性就很不可靠。

　　4、调和平均数应用的范围较小。

调和平均数与算术平均数的比较

　　（一）调和平均数与算术平均数的区别

变量不同：算术平均数是x，调和平均数是 1/x 。

权数不同：算术平均数是f或n，代表次数（单位数），调和平均数是xf或M，代表标志总量。

　　（二）调和平均数与算术平均数的联系：调和平均数作为算术平均数的变形使用：

　　∵ $\sum f=\sum \frac{xf}{x}$

　　∴ $\bar{x}=\frac{\sum xf}{\sum f}=\frac{\sum xf}{\sum\frac{xf}{x}}=\frac{\sum xf}{\sum\frac{1}{x}xf}$

　　令　M=xf

　　则　 $\bar{x}=\frac{\sum M}{\sum\frac{1}{x}M}=H$

应用调和平均数应注意问题

　　1、变量x的值不能为0。

　　2、调和平均数易受极端值的影响。

　　3、要注意其运用的条件。调和平均数多用于已知分子资料，缺分母资料时。

调和平均数与算术平均数的举例分析

　　例一水果甲级每元1公斤，乙级每元1.5公斤，丙级每元2公斤。问：

　　（1）若各买1公斤，平均每元可买多少公斤？

　　（2）各买6.5公斤，平均每元可买多少公斤？

　　（3）甲级3公斤，乙级2公斤，丙级1公斤，平均每元可买几公斤？

　　（4）甲乙丙三级各买1元，每元可买几公斤？

　　解：例一

　　(1) $H=\frac{n}{\sum\frac{1}{n}}=\frac{3}{\frac{1}{1}+\frac{1}{1.5}+\frac{1}{2}}=\frac{3}{2.1667}=1.38$ (公斤／元)

　　(2) $H=\frac{\sum f}{\sum\frac{1}{x}f}=\frac{6.5+6.5+6.5}{\frac{1}{1}\times6.5+\frac{1}{1.5}\times6.5+\frac{1}{2}\times6.5}=\frac{19.5}{14.0833}=1.38$ (公斤／元)

　　(3) $H=\frac{\sum f}{\sum\frac{1}{x}f}=\frac{3+2+1}{\frac{1}{1}\times3+\frac{1}{1.5}\times2+\frac{1}{2}\times1}=\frac{6}{4.83}=1.24$ (公斤／元)

　　(4) $\bar{x}=\frac{\sum x}{n}=\frac{1+1.5+2}{3}=1.5$ (公斤／元)