詹森不等式

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詹森不等式（Jensen's inequality），也译为延森不等式、琴生不等式

詹森不等式简介

　　詹森不等式以丹麦数学家约翰·詹森（Johan Jensen）命名。它给出积分的凸函数值和凸函数的积分值间的关系。

Jensen's inequality generalizes the statement that a secant line of a convex function lies above the graph.

詹森不等式的一般形式

　　詹森不等式可以用测度论或概率论的语言给出。这两种方式都表明同一个很一般的结果。

测度论的版本

　　假设 $μ$ 是集合 $Ω$ 的正测度，使得 $μ(Ω) = 1$ 。若 $g$ 是勒贝格可积的实值函数，而 $\varphi$ 是在 $g$ 的值域上定义的凸函数，则

$\varphi\left(\int_{\Omega} g\, d\mu\right) \le \int_\Omega \varphi \circ g\, d\mu$ 。

概率论的版本

　　以概率论的名词， $μ$ 是个概率测度。函数 $g$ 换作实值随机变量 $X$ （就纯数学而言，两者没有分别）。在 $Ω$ 空间上，任何函数相对于概率测度 $μ$ 的积分就成了期望值。这不等式就说，若 $\varphi$ 是任一凸函数，则

$\varphi\left(E(X)\right) \leq E(\varphi(X))\,$ 。

詹森不等式的特例

机率密度函数的形式

　　假设 $Ω$ 是实数轴上的可测子集，而 $f (x)$ 是非负函数，使得

$\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = 1$ 。

　　以概率论的语言， $f$ 是个机率密度函数。

　　詹森不等式变成以下关于凸积分的命题：

　　若 $g$ 是任一实值可测函数， $φ$ 在 $g$ 的值域中是凸函数，则

$\varphi\left(\int_{-\infty}^\infty g(x)f(x)\, dx\right) \le \int_{-\infty}^\infty \varphi(g(x)) f(x)\, dx$ 。

　　若 $g (x) = x$ ，则这形式的不等式简化成一个常用特例：

$\varphi\left(\int_{-\infty}^\infty x\, f(x)\, dx\right) \le \int_{-\infty}^\infty \varphi(x)\,f(x)\, dx$ 。

有限形式

　　若 $Ω$ 是有限集合 $\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}$ ，而 $μ$ 是 $Ω$ 上的正规计数测度，则不等式的一般形式可以简单地用和式表示：

$\varphi\left(\sum_{i=1}^{n} g(x_i)\lambda_i \right) \le \sum_{i=1}^{n} \varphi(g(x_i))\lambda_i$ ，

　　其中 $\lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n = 1, \lambda_i \ge 0$ 。

　　若 $φ$ 是凹函数，只需把不等式符号调转。

　　假设 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ 是正实数， $g (x) = x$ ， $λ i = 1 / n$ 及 $\varphi(x) = \log(x)$ 。上述和式便成了

$\log\left(\sum_{i=1}^{n} \frac{x_i}{n} \right) \ge \sum_{i=1}^{n} \frac{\log(x_i)}{n}$ ，

　　两边取自然指数就得出熟悉的平均数不等式：

$\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \ge \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n}$ 。

　　这不等式也有无限项的离散形式。

统计物理学

　　统计物理学中，若凸函数是指数函数，詹森不等式特别重要：

$e^{\langle X \rangle} \leq \left\langle e^X \right\rangle$ ，

　　其中方括号表示期望值，是以随机变量X的某个概率分布算出。这个情形的证明很简单（参见Chandler, Sec. 5.5）：在以下等式的第三个指数函数

$\left\langle e^X \right\rangle = e^{\langle X \rangle} \left\langle e^{X - \langle X \rangle} \right\rangle$

　　套用不等式

$e^X \geq 1+X \,$ ，

　　即得出所求的不等式。

参考文献

Walter Rudin. Real and Complex Analysis. McGraw-Hill. 0-07-054234-1. David Chandler. Introduction to Modern Statistical Mechanics. Oxford. 0-19-504277-8.