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积分第一中值定理

  	      	      	    	    	      	    
目录
  
 
 什么是积分第一中值定理 
 
　　设 f:[a,b]\rightarrow \mathbf R 为一连续函数，g:[a,b]\rightarrow \mathbf R 为一正的可积函数，那么存在一点 \xi\in [a,b] 使得 
　　\int_a^b f(x)g(x)\,dx= f(\xi)\int_a^b g(x)\,dx。 
　　事实上，可以证明，上述的中值点ξ必能在开区间(a,b)内取得，见下方中值点在开区间内存在的证明。 
 
积分第一中值定理的证明
 
　　因为 f\ 是闭区间上的连续函数，f\ 取得最大值 \Mu\ 和最小值 \mu\。于是 
　　\Mu g(x)\geq f(x)g(x)\geq\mu g(x)。 
　　对不等式求积分，我们有 
　　\Mu\int^\beta_\alpha g(x){\rm{d}}x\geq\int^\beta_\alpha f(x)g(x){\rm{d}}x\geq\mu\int_a^b g(x){\rm{d}}x。 
　　若 \int^\beta_\alpha g(x){\rm{d}}x=0，则 \int^\beta_\alpha f(x)g(x){\rm{d}}x=0。\xi\ 可取 [\alpha,\beta]\ 上任一点。 
　　设 \int^\beta_\alpha g(x){\rm{d}}x>0，那么 
　　\Mu\geq\frac{\int^\beta_\alpha f(x)g(x){\rm{d}}x}{\int^\beta_\alpha g(x){\rm{d}}x}\geq\mu。 
　　因为 \Mu\geq f(x)\geq\mu是连续函数，则必存在一点 \xi\in[\alpha,\beta]，使得 
　　f(\xi)=\frac{\int^\beta_\alpha f(x)g(x){\rm{d}}x}{\int^\beta_\alpha g(x){\rm{d}}x}。 
 
中值点在开区间内存在的证明
 
　　已知f(x)在[a,b]上连续，设F(x) = \int_{a}^{x} f(t)\, dt。 
　　知F(x)在[a,b]上连续，在[a,b]内可导，应用拉格朗日中值定理，可得： 
　　\frac{F(b)-F(a)}{b-a}=F'(\xi)，其中\xi\in(a,b) 
　　即 
　　\frac{\int_{a}^{b} f(t)\, dt-\int_{a}^{a} f(t)\, dt}{b-a}=f(\xi) 
　　所以 
　　\int_{a}^{b} f(x)\, dx=f(\xi)(b-a), \xi\in(a,b)。