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矩阵决策法

  	      	      	    	    	      	    

目录

矩阵决策法的基本要素

  1.状态变量:指可能影响决策后果的各种客观外界情况或自然状态.是不可控因素,记为:

  \mathbf{x_j(j=1,2,....,n),}并设\mathbf{X=\mid x_1,x_2,....,x_n \mid}为所有自然状态的集合。

  2.决策变量:指决策者所采取的各种行动方案,是可控因素。记为:\mathbf{A_i(i=1,2,....,m)},并设\mathbf{A={A_1,A_2,....A_m}}为所有方案的集合。

  3.概率:指各种自然状态出现的概率。记为:\mathbf{P(x_j)}\mathbf{0\le P(x_j) \le1},\sum_{j=1}^n p(x_j=1)

  其中\mathbf{P(x_j)}可以是先验概率,也可以是后验概率

  4.损益值:在第j种自然状态下选取第 种方案所得结果的损益值,记为:\mathbf{V_{i,j}}

矩阵决策法的求解方法

  由实际问题给出的条件列出矩阵决策表。一般情况下,是将上述四要素列表如下表:

  Image:各种行动方案对不同状态的损益值.jpg

  由表l所给的具体数据,利用期望公式:\mathbf{E(A_i)=}\sum_{j=1}^n V_{i,j}p(x_j)

  令B=\begin{bmatrix} V_11 & \cdots & V_1n \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ V_m1 & \cdots & V_mn\end{bmatrix},P=\begin{Bmatrix} p(x_1) \\ p(x_2) \\ ... \\ p(x_n) \end{Bmatrix},E(A)=\begin{Bmatrix} E(A_1) \\ E(A_2) \\ ... \\ E(A_n) \end{Bmatrix}

  则有E(A)=BP=\begin{bmatrix} V_11 & \cdots & V_1n \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ V_m1 & \cdots & V_mn\end{bmatrix}\begin{Bmatrix} p(x_1) \\ p(x_2) \\ ... \\ p(x_n) \end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix} \sum_{j=1}^n V_{1,j}p(x_j) \\ \sum_{j=1}^n V_{2,j}p(x_j) \\ ... \\ \sum_{j=1}^n V_{m,j}p(x_j) \end{Bmatrix}

  利用最优期望准则公式E(A_1)=\max \mid E(A_1),E(A_2),......,E(A_m) \mid,确定最优行动方案。

  当我们利用公式(1)计算出各行动方案的期望值后,加以比较.再由决策目标要求选择期望值最大(或最小)的行动方案为最优方案。如果表1中的\mathbf{V_{i,j}},是收益值.且决策目标使收益最大,则期望值最大的为最优行动方案;如果\mathbf{V_{i,j}},决策目标是使损失最小,则选取期望值最小的为最优行动方案。

矩阵决策法的应用举例[1]

  例1:某出租汽车公司在甲、乙、丙三处设立了-租车与还车处,顾客可以在甲、乙、丙任一处租车.也可 在任一处还车。已知顾客在三处租车是等可能的.还车概率如下表所示.如果该公司想选择一处设立汽车保修厂.间设在何处比较适宜?

  Image:还车概率表.jpg

  解:将还车概率看作设立汽车保修厂的损失值。

  令B=\begin{bmatrix} 0.8 & \cdots & 0.2 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0.6\end{bmatrix},P=\begin{Bmatrix} \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} \end{Bmatrix},

  E(A)=\begin{bmatrix} 0.8 & \cdots & 0.2 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0.6\end{bmatrix}P=\begin{Bmatrix} \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} \end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix} 0.40 \\ 0.13 \\ 0.43 \end{Bmatrix}

  由计算出的期望值看到,经过一定时期的经营后,该公司的每部出租车将被还到甲处的概率为0.40,还到乙处的概率为0.13,还到丙处的概率为0.47。故保修厂应设在丙处为宜。

  例2:一位病人患某种疾病,该疾病表现的病型为:X1,X2,X3,X4。医生可以采取下述五种治疗方中的一种:放射疗法(A1),化学疗法(A2),手术疗法(A3),药物疗法A4)和针灸疗法(A5)。已知此疾病表现为各种病型的概率p(x_j)及各种治疗方案对不同病型的损益值Vij如下表所示。试确定最优治疗方案。

  Image:各种治疗方案对不同病型的损益值表.jpg

  解 令B=\begin{bmatrix} 4 & 5 & 6 & 7 \\ 2 & 4 & 6 & 9 \\ 5 & 7 & 3 & 5 \\ 2 & 5 & 8 & 8 \\ 3 & 5 & 5 & 5 \end{bmatrix},P=\begin{bmatrix}0.2 \\ 0.4 \\ 0.1 \\ 0.3 \end{bmatrix},则E(A)=BP=\begin{bmatrix} 5.5 \\ 5.3 \\ 5.6 \\ 5.6 \\ 4.6 \end{bmatrix}

  比较计算所得的期望值,手术疗法(A3)和药物疗法(A4)都比较好。而E(A_3)=5.6-3=2.6<E^\prime(A_4)=5.6-2=3.6。故最优治疗方案为手术疗法。

参考文献

  1. 周宏安.矩阵决策法及其应用.《陕西工学院学报》.2001年1期