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矩法估计

  	      	      	    	    	      	    
目录
  
 
 什么是矩法估计 
 
　　对于随机变量来说，矩是其最广泛，最常用的数字特征，母体ξ的各阶矩一般与ξ的分布中所含的未知参数有关，有的甚至就等于未知参数。由辛钦大数定律知，简单随机子样的子样原点矩\bar{\xi^r}依概率收敛到相应的母体原点矩Eξr,r = 1,2,Λ。这就启发我们想到用子样矩替换母体矩（今后称之为替换原则），进而找出未知参数的估计，基于这种思想求估计量的方法称为矩法。用矩法求得的估计称为矩法估计，简称矩估计。它是由英国统计学家皮尔逊Pearson于1894年提出的。 
 
 矩法估计的理论依据 
 
　　由辛钦大数定律知： 
　　\bar{\xi^r}\overrightarrow{p}E\xi^r,r=1,2,\Lambda 
　　即对\nu\varepsilon>0，有 
　　lim_{n\to\infty}P(|\bar{\xi^r}-E\xi^r|>\varepsilon)=0 
　　或 
　　lim_{n\to\infty}P(|\bar{\xi^r}-E\xi^r|\le\varepsilon)=1 
 
 矩法估计的具体步骤 
 
　　设母体ξ的概率函数为f(x,θ1,Λ,θk),其中(\theta_1,\Lambda,\theta_k)\in\Theta是k个未知参数，ξ1,Λ,ξn是取自这一母体的一个子样。设ξ的k阶矩vk = Eξk存在，则vj,j < k都存在，并且是θ1,Λ,θk的函数vj(θ1,Λ,θk)，又子样ξ1,Λ,θk的j阶矩为\bar{\xi_n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\xi_i^j。我们设 
　　\begin{cases} \bar{\xi}=E\xi \\ \bar{\xi^2}=E\xi^2 \\ \Lambda\Lambda\Lambda \\ \bar{\xi^k}=E\xi^k \end{cases}　　　　(1) 
　　这样我们就得到含k个未知参数θ1,Λ,θk的k个方程，解由这k个方程联列所构成的方程组就可以得到theta1,Λ,θk的一组解： 
　　\begin{cases} \hat{\theta_1}=\hat{\theta_1}(\xi_1,\Lambda,\xi_n) \\ \hat{\theta_2}=\hat{\theta_2}(\xi_1,\Lambda,\xi_n) \\ \Lambda\Lambda\Lambda\Lambda\Lambda\Lambda\Lambda \\ \hat{\theta_k}=\hat{\theta_k}(\xi_1,\Lambda,\xi_n) \end{cases}　　　　(2) 
　　用(2)中的解\hat{\theta_i}来估计参数θi 就是矩法估计。 
　　一般我们考察k\le 3的情形。 
　　在数理统计学中，我们一般用\hat{\theta}表示θ的估计量。 
　　下面我们举一个与实际问题有关的多参数的矩法估计问题。 
　　例:已知大学生英语四级考试成绩ξ~N(μ,σ2)，均值μ,方差σ2均未知，ξ1,Λ,ξn为取自母体ξ的一个子样，(x1,Λ,xn)是子样的一组观测值,求μ与σ2的矩法估计。 
　　解：注意到有两个未知参数，由矩法估计知需两个方程，按照(1)式得方程组 
　　\begin{cases} \mu=\bar{\xi} \\ \sigma^2+\mu^2=\bar{\xi^2} \end{cases} 
　　解这一方程组得μ与σ的矩法估计量 
　　从而μ与σ2的矩法估计值分别为\bar{x}\hat{=}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2。 
　　分析：注意到我们这里求出μ与σ2的矩法估计并未用到母体ξ的分布。这样对μ,σ2作出了估计，也就对整个母体分布作出了推断，进而对大学生英语四级考试成绩ξ相关的其它数字特征如标准分、标准差、偏态系数等作出了估计。 
 
 矩法估计的优缺点 
 
　　矩法估计原理简单、使用方便，使用时可以不知母体的分布，而且具有一定的优良性质（如矩估计\bar{\xi}为Eξ的一致最小方差无偏估计），因此在实际问题，特别是在教育统计问题中被广泛使用。 
　　但在寻找参数的矩法估计量时，对母体原点矩不存在的分布如柯西分布等不能用，另一方面它只涉及母体的一些数字特征，并未用到母体的分布，因此矩法估计量实际上只集中了母体的部分信息，这样它在体现母体分布特征上往往性质较差，只有在样本容量n较大时，才能保障它的优良性,因而理论上讲，矩法估计是以大样本为应用对象的。