综合百科行业百科金融百科经济百科资源百科管理百科
管理百科
管理营销
资源百科
人力财务
经济百科
经济贸易
金融百科
金融证券
行业百科
物流咨询
综合百科
人物品牌

灰色系统预测法

  	      	      	    	    	      	    
目录
  
 
 什么是灰色系统预测法 
 
　　灰色系统预测法是指对一些行为效果已知、而产生行为的原因较模糊的抽象灰色系统的预测方法。所谓灰色系统是介于白色系统和黑箱系统之间的过渡系统，一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。 
 
 灰色系统预测主要包括 
 
　　灰色系统预测主要包括： 
　　1.数列预测，即对系统行为特征值的预测。 
　　2.激励预测，即对在一些突然性因素影响下的行为特征值的预测。 
　　3.突变预测，即对系统的行为特征值超过一定限度而造成“突变”的时间的预测。 
　　4.季节突变预测，即在某一特定时期内发生的突变的预测。 
　　5.拓展预测，是对不规则波动系统的行为特征的波形的预测。 
　　6.系统预测，是一种综合预测，即先用不同模型表示变量之间的关系，得到一组模型，然后再进一步采用模型来表示诸模型组之间的关系，得到一个复合模型来进行预测。 
 
 灰色系统预测法的特点 
 
　　该预测方法具有以下特点： 
   
  • 用累加生成拟合微分方程，符合能量系统的变化规律； 
  
 灰色系统预测法的建模方法和过程 
 
　　（1）数据处理。假设给定原始时间数据序列为： 
X^{(0)}=(x^{(0)}(1),x^{(0)}(2),\cdots,x^{(0)}(n))　　　　（4-40） 
　　这些数据表现为：量少、无规律、随机性强、波动明显等。此时，将原始数据列进行一次累加生成1-AGO，获得新的数据列： 
X^{(1)}=(x^{(1)}(1),x^{(1)}(2),\cdots,x^{(1)}(n))　　　　（4-41） 
　　式中，X^{(1)}(i)=\sum_{k=1}^i x^{(0)}(k)(i=1,2,\cdots,n)。由于新生成的数据列为一条单调增长的曲线，增加了原始数据列的规律性，弱化了其波动性。 
　　（2）建立微分方程。灰色系统建模思想是直接将时间序列转化为微分方程，从而建立抽象系统的发展变化动态模型，简记为GM。GM（1,1）模型的原始形式为：x(0)(k) + ax(1)(k) = b,其中，G表示Grey，M表示Model，1表示1阶方程，1表示1个变量，a和b为参数。设 
Z^{(1)}=(z^{(1)}(2),z^{(1)}(3),\cdots,z^{(1)}(n))　　　（4-42） 
式中，z^{(1)}(k)=\frac{1}{2}(x^{(1)}(k)+x^{(1)}(k-1)),则称 
x(0)(k) + az(1)(k) = b　　　　　　　　（4-43） 
为GM（1,1）模型的基本形式。 
　　若\widehat{a}=(a,b)^T为参数列，且 
X_n= \begin{bmatrix} x^{(0)}(2) \\ x^{(0)}(3) \\ \vdots \\ x^{(0)}(n) \end{bmatrix}， B= \begin{bmatrix} -z^{(1)}(2) & 1 \\ -z^{(1)}(3) & 1 \\ \vdots & \vdots \\ -z^{(1)}(n) & 1 \end{bmatrix}　　　　　　（4-44） 
则灰色微分方程式（4-44）的最小二乘估计参数列满足： 
\widehat{a}=(B^{T}B)^{-1}B^{T}Y　　　（4-45） 
　　设非负序列X(0)和1-AGO序列X(1)如式（4-41）和式（4-42）所示，其中Z(1)为X(1)的紧邻均值生成序列，如式（4-43）所示，{(a,b)}^T={(B^{T} B)}^{-1}B^{T} X_n， 
则称\frac{dx^{(1)}(t)}{dt}+ax^{(1)}(t)=b　　（4-46） 
为灰色微分方程式（4-44）的白化方程，也叫影响方程。进行物流预测时，常常采用该白化方程。 
　　（3）参数估计a和b。具体公式为式（4-45）和式（4-46），其中式（4-45）结合式（4-43）代入得 
X_n= \begin{bmatrix} x^{(0)}(2) \\ x^{(0)}(3) \\ \vdots \\ x^{(0)}(n) \end{bmatrix}， 
B= \begin{bmatrix}  -\frac{1}{2}(x^{(1)}(1)+x^{(1)}(2)) & 1 \\  -\frac{1}{2} (x^{(1)}(2)+x^{(1)}(3)) & 1 \\ \vdots &\vdots \\  -\frac{1}{2}(x^{(1)}(n-1)+x^{(1)}(n)) & 1 \end{bmatrix}　　（4-47） 
{(a,b)}^T={(B^{T} B)}^{-1}B^{T} X_n　　　　　　（4-48） 
把式（4-47）代入式（4-48）可得a和b的值。 
　　（4）预测模型。白化方程式（4-46）的解也称时间相应预测值，具体为： 
x^{(1)}(t)=(x^{(1)}(0)- \frac{b}{a})e^{-a(t-1)}+ \frac{b}{a}　　（4-49） 
　　GM（1，1）灰色微分方程式（4-43）或式（4-46）的时间相应序列为： 
　　　　\widehat{x} ^{(1)} (k+1)=(x^{(1)}(0)- \frac{b}{a})e^{-ak}+ \frac{b}{a} ，k=1,2,\cdots ,n　　　　（4-50） 
　　取x(1)(0) = x(0)(1)，则 
\widehat{x} ^{(1)} (k+1)=(x^{(0)}(1)- \frac{b}{a})e^{-ak}+ \frac{b}{a} ，k=1,2,\cdots ,n　　　　（4-51） 
　　（5）还原模型。最后由于灰色系统理论建立的是累加数据的模型，因此我们必须对累加的数据进行还原，得到还原模型： 
\widehat{x} ^{(0)} (k+1)=\widehat{x} ^{(1)}(k+1)- \widehat{x} ^{(1)}k ，k=1,2,\cdots ,n　　　　（4-52） 
　　GM（1,1）模型的综合预测模型为： 
\begin{cases} {\widehat{x} ^{(1)} (k+1)=(x^{(0)}(1)- \frac{b}{a})e^{-ak}+ \frac{b}{a} , k=1,2,\cdots ,n} \\ {\widehat{x} ^{(0)} (k+1)=\widehat{x}^{(1)}(k+1)- \widehat{x}^{(1)}k , k=1,2,\cdots ,n }\end{cases} 
 
 灰色系统预测法的模型检验 
 
　　设原始序列为式（4-41），相应的预测模型序列为： 
\widehat x ^{(0)}=(\widehat x ^ {(0)} (1),\widehat x ^ {(0)} (2),\cdots , \widehat x ^ {(0)} (n)) 
　　残差序列为： 
\varepsilon ^ {(0)}=(\varepsilon ^ {(0)} (1),\varepsilon ^ {(0)} (2),\cdots ,\varepsilon ^ {(0)} (n)) 
=(x^{(0)}(1)-\widehat x ^ {(0)} (1),x^{(0)}(2)-\widehat x ^ {(0)} (2),\cdots ,x^{(0)}(n)-\widehat x ^ {(0)} (n) 
　　（1）残差检验。按预测模型计算\widehat x^{(1)}(k)，并将\widehat x^{(1)}(k)累减生成\widehat x^{(0)}(k)，然后计算原始数据x(0)(k)与预测值\widehat x^{(0)}(k)的绝对误差序列和相对误差序列： 
\varepsilon ^{(0)}(k)=|x^{(0)}(k)- \widehat x ^{(0)}(k)|,k=1,2, \cdots ,n                     （4-53） 
\Delta_k=\frac{\varepsilon ^{(0)}(k)}{x^{(0)}(k)} \times 100%,k=1,2, \cdots ,n                      （4-54） 
　　对于k \le n，称\Delta_k=\left| \frac{\varepsilon ^{(0)}(k)}{x^{(0)}(k)} \right|为k点模拟相对误差，称\bar \Delta= \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n {\Delta_k}为平均相对误差；称1-\bar \Delta为平均相对精度，1 − Δk为k点的模拟精度(k=1,2,\cdots ,n)。给定α，当Δ < α且Δk < α成立时，该模型为残差合格模型。 
　　（2）后验差检验。第1后验指标为方差比C=\frac{S_2}{S_1}，对于给定的C0 > 0,当C < C0时，称模型为均方差合格模型。第2后验指标为小误差概率p=P(|\varepsilon (k)-\bar \varepsilon| < 0.674  5S_1)，对于给定的p0 > 0，当p < p0时，称模型为小误差概率合格模型。 
　　上述式中：S1位原始序列标准差；S2为绝对误差标准差；\varepsilon (k)为预测误差；\bar \varepsilon为其均值；p=m/n(m为小于上述条件的误差个数)。通过检验的标准为精度等级月消越好，4级为不通过，精度等级如表4-8所示。 
 
 表4-8　　精度检验等级参照表  
   精度等级 
 
  
1
2
3
4 
 
 
相对误差 α 
<0.01
<0.05
<0.10
\geq 0.20 
 
 
关联度\varepsilon_0
>0.90
>0.80
>0.70
\leq 0.60 
 
 
小误差概率p
>0.95
>0.80
>0.70
\leq 0.70 
 
 
方差比C
<0.35
<0.50
<0.65
\geq 0.65 
 
　　虽然GM（1，1）模型在预测方面应用广泛且效果显著，但并不是所有的数据序列都能建立GM（1，1）模型。在建立GM（1，1）模型之前，数列必须满足一定的前提条件： 
　　1）数据序列要满足准光滑性条件，光滑比\rho (t)=\frac{x(t)}{ \sum_{i=1}^{t-1} x(i) }<0.5为准光滑性检验条件； 
　　2）数据序列必须满足灰指数规律，序列的变化速度不能太快，级比\delta ^{(1)}(t)=\frac {x^{(0)}}{x(t-1)} \in [1,1.5)为准指数规律检验条件。 
　　对于满足准光滑性条件和灰指数规律的序列，可以建立GM（1，1）模型。一般非负系列累加生成后，可以得到光滑序列，非负光滑序列累加生成后，都会减少随机性，呈现出近似的指数增长规律。原始数列越光滑，生成后的指数规律也越明显。因此保证数列光滑性是生成指数的关键。对于非光滑或震荡数列，一般经过二级弱化算子作用后就能变成为光滑数列。