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棣莫弗公式

  	      	      	    	    	      	    
棣莫弗公式(De Moivre formula) 
 
目录
  
 
什么是棣莫弗公式
 
　　棣莫弗公式是指法国数学家棣莫弗（Abraham de Moivre，1667年－1754年）于1707年创立的公式。 
　　当一个复数z以极坐标形式表达，即z = r(cosθ + isinθ)时，其n次方(r(cosθ + isinθ))n = rn(cos(nθ) + isin(nθ))，其中n属于任何整数。 
 
棣莫弗公式的证明 
 
 欧拉公式 
 
　　最简单的方法是应用欧拉公式。 
　　e^{ix} = \cos x + i\sin x\, 
　　\left( e^{ix} \right)^n = e^{inx} . 
　　e^{i(nx)} = \cos (nx) + i\sin (nx).\, 
 
 数学归纳法 
 
 正整数情形 
 
　　证明的思路是用数学归纳法证明正整数的情形。 
　　设命题为P ( n ) = ( \cos \theta + i \sin \theta )^n =\left( \cos n \theta + i \sin n \theta \right), n \in\mathbb{N} 
　　当n=1 
　　左式 = ( \cos \theta + i \sin \theta )^1 =  \cos \theta + i \sin \theta  = ( \cos 1 \cdot \theta + i \sin 1 \cdot \theta )= 右式 
　　因此 P(1)成立。 
　　假设P(k)成立，即(cosθ + isinθ)k = cos(kθ) + isin(kθ) 
　　当n = k + 1 
　　\cdot  ~~~~~~ (\cos\theta + i\sin\theta)^{k+1} 
　　=(\cos\theta + i\sin\theta)^{k} \cdot (\cos\theta + i\sin\theta) 
　　=(\cos k\theta + i\sin k\theta)  \cdot (\cos\theta + i\sin\theta)  
　　=(\cos k\theta  \cdot \cos\theta + \cos k\theta  \cdot i\sin\theta) + (i\sin k\theta  \cdot \cos\theta + i\sin k\theta  \cdot i\sin\theta) 
　　=[\cos k\theta  \cdot \cos\theta - \sin k\theta  \cdot \sin\theta] + i[\cos k\theta  \cdot \sin\theta + \sin k \theta  \cdot \cos\theta] 
　　=\cos (k+1)\theta + i\sin (k+1)\theta   \cdot 
　　因此，P(k + 1)也成立。 
　　根据数学归纳法，\forall n \in \mathbb{N}，P(n)成立。 
 
 负整数情形 
 
　　只需运用恒等式： 
　　(\cos (n \theta)+i \sin (n \theta)) \cdot (\cos (-n \theta)+i \sin (-n \theta)) =1即可证明。 
 
 用棣莫弗公式求根 
 
　　此定理可用来求单位复数的 n 次方根。设  | z |  = 1，表为 
　　z = cosθ + isinθ 
　　若 wn = z，则 w 也可以表成： 
　　w = cosφ + isinφ 
　　按照棣莫弗公式： 
　　wn = (cosφ + isinφ)n = cosnφ + isinnφ = cosθ + isinθ = z 
　　于是得到 
　　nφ = θ + 2kπ（其中 k \in \Z） 
　　也就是： 
　　\phi = \frac{\theta + 2k\pi}{n} 
　　当 k 取 0, 1, \ldots, n-1，我们得到 n 个不同的根。