格尔丰德施奈德定理

格尔丰德-施奈德定理（Gelfond–Schneider theorem）

什么是格尔丰德-施奈德定理

　　格尔丰德-施奈德定理是指一个可以用于证明许多数的超越数的结果。这个定理由Aleksandr Gelfond和Theodor Schneider在1934年独立证明，它回答了希尔伯特第七问题。

　　如果α和β是代数数，其中α≠0且≠1，且β不是有理数，那么任何 $α β = exp{βlogα}$ 的值一定是超越数。

　　 $α$ 和 $β$ 不限于实数；它们可以是复数。

　　一般地， $α β = exp{βlogα}$ 是多值函数，其中“log”表示复数对数。

　　该定理的一个等价的表述是：如果 $α$ 和 $γ$ 是非零的代数数，那么 $(logγ) / (logα)$ 要么是有理数，要么是超越数。

　　如果没有 $β$ 是代数数的限制，这个定理就不一定成立。例如，如果 $α = 3$ ， $β = log2 / log3$ ，那么 $α β = 2$ ，它是代数数。

　　利用这个定理，立刻就可以推出以下实数的超越性： $2^{\sqrt{2}}$ （格尔丰德-施奈德常数）和 $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ 。

　　 $e π$ （格尔丰德常数），以及e^-π/2=iⁱ（这是因为 $e^{\pi}=e^{-i\,\log(-1)}$ 是 $( - 1) - i$ 的值之一）。